Vektoren: Abstand Gerade - Gerade

Question

Hallo. Ich hab ein Problem mit der folgenden Aufgabe:

Berechnen sie den Abstand der Geraden g und h.

g:x = (4/2/25) + t*(0/-3/1)

h:x= (3/2/5)+ t*(6/2/-1)

ich hab einfach den stützvektor von g genommen und dann abstand von der gerade h zu dem stützvektor von g berechnet, indem ich eine ebene aufgestellt habe, aber es kommt etwas soo krummes und ich finde einfach den fehler nicht. ich hab es so gemacht:

u1 = (4/2/25)

e*: 6x + 2x + -1x = 3

 6*4 + 2*2 + -1*25 = 3

6*(3+6t) + 2*(2+2t) + -1*(5+(-1)t) = 3

18+ 36t + 4 + 4t + (-5) + t = 3

17 + 41t = 3      /-17, :41

t= -14/41

ich glaub den rest muss ich nicht hier aufschreiben es kommt was furchtbar krummes raus wenn ich t einsetz, f raushab und betrag von UF errechne.

wenn ich die aufgabe so löse, indem ich den stützvektor von h nehme und dann den abstand von der gerade g zu diesem stützvektor berechne kommt das richtige, obwohl ich beides im genau gleichen prinzip gerechnet hab. der abstand soll übrigens 19 betragen..

kann mir jemand bitte sagen was mein fehler ist ? ich bin grad so am verzweifeln

Answer 1

Das etwas krummes herauskommt hat meist nichts zu sagen. Aber das du mit einem Vektor eine Ebenengleichung aufstellen willst ist mutig.

g:x = (4/2/25) + t*(0/-3/1)
h:x= (3/2/5)+ t*(6/2/-1)

Hilfsebene mit h und dem Richtungsvektor von g aufstellen.
E: X = (3/2/5)+ t*(6/2/-1) + s*(0/-3/1)

Wir formen diese Gleichung in die Koordinatenform um.

Normalenvektor der Hilfsebene:
n = [6, 2, -1] ⨯ [0, -3, 1] = [-1, -6, -18] = -[1, 6, 18]

Ebenengleichung in Koordinatenform
X * [1, 6, 18] = [3, 2, 5] * [1, 6, 18]
x + 6y + 18z = 105

Nun machen wir aus der Koordinatenform nach die Abstandsform. D.h. alles auf die linke Seite bringen und durch die Länge des Normalenvektors teilen

d = (x + 6y + 18z - 105) / √(1^2 + 6^2 + 18^2)

Hier braucht man jetzt nur noch den Punkt von g einsetzen.

d = (4 + 6*2 + 18*25 - 105) / √(1^2 + 6^2 + 18^2) = 19

Der Abstand beträgt also 19 LE.

Comments

bei der Zeile verstehe ich einen Schritt nicht.

n = [6, 2, -1] ⨯ [0, -3, 1] = [-1, -6, -18] = -[1, 6, 18]

Es wird doch gerechnet 2*1 + (-1)*(-3) = 5

bzw. (-1)*0 + 1*6 = 6 bzw. 6*(-3) + 2*0 = -18

Oder täusche ich mich?

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Es wird gerechnet

2 * 1 - (-1) * (-3) = 2 - 3 = -1

-1 * 0 - 6 * 1 = -6

6 * (-3) - 2 * 0 = -18