Quotientenregel. Bruch mit Wurzeln ableiten

Question

ich verzweifel gerade an dieser einfachen Funktion:

$$\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1} $$

Wie sieht denn da die erste Ableitung aus? Ich würde erstmal die Wurzel in Potenzen umschreiben und dann die Quotientenregel anwenden. Aber ich komme nie auf das richtige Ergebnis!

Wäre super dankbar über Hilfe!

Comments

Aber ich komme nie auf das richtige Ergebnis!

Woher weißt du das?

Dass dein Ergebnis anders als die Musterlösung aussieht, ist noch kein Beleg dafür, dass du etwas falsch gemacht hast.

Wie sieht denn da die erste Ableitung aus?

Was versprichst du dir von einer Antwort auf diese Frage? Deine Aussage "Aber ich komme nie auf das richtige Ergebnis!" lässt vermuten, dass du genau weißt, wie da die erste Ableitung aussieht.

Answer 1

so wie der Ausdruck da steht, ist das KEINE Funktion, sondern ein Term!!!

So muss es sein: $$ f(x)=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1} $$

Die Quotientenregel lautet ja so: $$ f'(x)=\frac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^2} $$

$$ u=\sqrt{x}-2\quad u'=\frac{1}{2\cdot \sqrt{x}}\\v=\sqrt{x}+1\quad v'=\frac{1}{2\cdot \sqrt{x}} $$

Jetzt alles nur noch in die Formel reinstopfen^^

$$ f'(x)=\frac{\frac{1}{2\cdot \sqrt{x}}\cdot (\sqrt{x}+1)-(\sqrt{x}-2)\cdot \frac{1}{2\cdot \sqrt{x}}}{(\sqrt{x}+1)^2}=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot \Big((\sqrt{x}+1)-(\sqrt{x}-2)\Big)}{(\sqrt{x}+1)^2}\\=\frac{(\sqrt{x}+1)-(\sqrt{x}-2)}{2\sqrt{x}\cdot(\sqrt{x}+1)^2}=\frac{\sqrt{x}+1-\sqrt{x}+2}{2\sqrt{x}\cdot(\sqrt{x}+1)^2}\\=\frac{3}{2\sqrt{x}\cdot(\sqrt{x}+1)^2} $$