Wie verändert sich der Funktionswert näherungsweise, wenn x vom Niveau x=5 um 1 Einheit erhöht wird und... ?

Question

Gegeben ist die Funktion :

z = f(x,y) = 3x² + 2xy - 20 * ln(y) + 3y²

a ) Wie verändert sich der Funktionswert näherungsweise, wenn x vom Niveau x=5 um 1 Einheit erhöht wird und y vom Niveau y=20 um 5 % steigt ?

b) Es sei bekannt, dass sich der Funktionswert näherungsweise um 39 verringert, wenn x um eine Einheit steigt und y vom Niveau y=20 um eine Einheit sinkt. Von welchem Niveau aus wurde x verändert ?

Answer 1

Es ist wohl lineare Näherung gemeint, also gilt

f(x+Δx,y+Δy) ≈ f(x,y) + f '_x(x,y)*Δx +  f '_y(x,y)*Δy

Bei dir ist  f(x,y) = 3x^2 + 2xy - 20 * ln(y) + 3y^2

also f '_x(x,y)=6x+2y ==> f '_x(5,20)=70 und

        f '_y(x,y)=6y -20/y +2x ==> f '_y(5,20)=129

Und es ist Δx=1  und Δy = 5% von 20 = 1

Die Veränderung des Funktionswertes ist

 f '_x(x,y)*Δx +  f '_y(x,y)*Δy

= 70*1+129*1 = 199