Zu d) Hier ich habe einen geilen Trick entwickelt . Ich erspare mir
1) die Probe
2) das Quadrieren auf der rechten Seite
Es gibt doch die Formate " Portrait " und " Landscape " Deine Gleichung ist praktisch " Hochformat " Was hier abgeht, merkst du sofort, wenn du die Unbekannte y taufst statt x .
sqr ( y + 2 ) = y - 4 ( 1 )
Ich führe jetzt eine Hilfsgröße x ein, die im Original gar nicht vorgesehen ist . Die Wurzel auf der linken Seite wird schlicht und ergreifend x gesetzt :
x := sqr ( y + 2 ) ( 2a )
y = x ² - 2 ( 2b )
Und das ist das, was ich meine . ( 2b ) ist weiter nix als eine stink normale Parabel . Indem du also x als Funktion von y schreibst wie in ( 2a ) , " liegt die Parabel auf dem Bauch " ; und diese Verrücktheit äußert sich in der Quadratwurzel
( Für den erfahrenen Matematiker sind Wurzeln immer verrückt. )
Jetzt musst du mal um sieben Ecken denken. Wenn in ( 2a ) die linke Seite von ( 1 ) gleich x gesetzt wurde, dann folgt, dass die rechte Seite von ( 1 ) eben Falls gleich diesem x sein muss :
y - 4 = x ===> y = x + 4 ( 3 )
Während also Normalos beide seiten von ( 1 ) quadrieren, weil man ja auf beiden Seiten einer Gleichung das selbe machen muss, bin ICH rechts völlig frei zu machen was ich will - ohne Rücksichtnahme auf die linke Seite . Die Interpretation von ( 2b;3 ) : wir haben eine Gerade mit einer Parabel geschnitten .
x ² - 2 = x + 4 ( 4a )
x ² - p x + q = 0 ( 4b )
p = 1 ; q = ( - 6 ) ( 4c )
Und jetzt kommt eine entscheidende Überlegung ins Spiel, die mir die Probe erspart. Mit q < 0 folgt aus der cartesischen Vorzeichenregel von ( 4bc )
x1 < 0 < x2 ( 5 )
Überleg mal; was ist x ? Hinter x verbirgt sich doch die POSITIVE Wurzel in ( 2a ) ; und damit können wir x1 in ( 5 ) verwerfen .
Hey schon mal vom ===> Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN ) gehört? Da Polynom ( 4bc ) normiert ist, müssen seine Wurzeln ganzzahlig sein; Vieta das geschmähte Stiefkind
q = x1 x2 = ( - 6 ) ( 6a )
Nun besitzt die 6 nur zwei mögliche Zerlegungen; die triviale 6 = 1 * 6 so wie die nicht triviale 6 = 2 * 3 . Hinreichende Probe ist stets Vieta p
p = x1 + x2 ( 6b )
| x1 | = 1 ; | x2 | = 6 ; | p | = 5 ( 6c )
| x1 | = 2 ; | x2 | = 3 ; | p | = 1 ( 6d ) ; ok
Jetzt noch das Vorzeichen richtig drehen; die betragsgrößere Wurzel ist positiv, da ja p > 0 in ( 4c )
x1 = ( - 2 ) ; x2 = 3 ( 7 )
Und das tust du so einsetzen in ( 3 ) , weil wir ( in meiner Diktion ) ja y gesucht haben und nicht x . " TADAAAH !!! "
