Zeigen, dass e^x>x^2, für alle reellen Zahlen x>=0 gilt.

Question

wie schon oben im Titel erwähnt, versuche ich diesen Sachverhalt formal zu zeigen.

Ja, mir ist bekannt, dass die E-Funktion schneller als jede Potenzfunktion wächst. Aber das sagt noch lange nichts darüber aus, ob sie dann auch für alle reelle Zahlen größer ist. Hier mal ein Beispiel, was ich meine

~plot~ e^x;x^3;[[-6|6|-1|20]] ~plot~

1.) Nun war eine Idee, die E-Funktion mit der Bernoulli-Ungleichung nachunten abzuschätzen. Das sieht dann so aus:

$$ e^x=(1+(e-1))^x\geq 1+x\cdot (e-1). $$ Das Blöde ist nur daran, dass die Abschätzung zu schnell nachunten geht, sodass ich bei einer linearen Funktion lande, die kleiner als x^2 ist.

2.) Ein weiterer Ansatz wäre nun e^x als Reihe zu betrachten, da diese ja für alle x∈ℝ konvergiert. Aber ich schaue mir nur die ersten Summanden an. Dann käme ich auf folgendes:

$$ e^x=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\cdot x^k=1+x+\frac{1}{2}\cdot x^2+\frac{1}{6}\cdot x^3+\frac{1}{24}\cdot x^4+...\\\geq 1+x+\frac{1}{2}\cdot x^2+\frac{1}{6}\cdot x^3=\frac{6+6\cdot x+3\cdot x^2+x^3}{6}=:p(x), \quad \stackrel{!}{x\geq 0} $$

Nun behaupte ich, dass $$ p(x)>x^2, \forall x\in \mathbb{R_{\geq0}} $$ gilt.

Dann hätte ich weiter also:

$$ \frac{6+6\cdot x+3\cdot x^2+x^3}{6}>x^2\Leftrightarrow 6+6\cdot x+3\cdot x^2+x^3>6\cdot x^2\Leftrightarrow x^3-3\cdot x^2+6\cdot x+6>0\\ \Leftrightarrow (x^3-3\cdot x^3+3\cdot x-1)+3\cdot x+7>0\Leftrightarrow (x-1)^3+3\cdot (x+2)+1>0, $$ was offensichtlich für alle x≥0 gilt.

Insgesamt hätte man also

$$ e^x\geq \frac{6+6\cdot x+3\cdot x^2+x^3}{6}> x^2. $$

Wäre das so in Ordnung?

Comments

Was genau ist denn die These, die du untersuchen möchtest? Die Behauptung im Titel gilt ja offensichtich nicht.

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Die These steht in der Überschrift?

Die Behauptung im Titel stimmt schon. Nur will ich das auch beweisen.

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Ok, ich habe mich von deinem x^3 Beispiel in die Irre führen lassen... :-)

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Achsooo ok. :-) Ich war grad verwirrt.

Answer 1

     Es gilt

     0  ²  <  exp  (  0  )        (  1  )

     Es gibt also ein x , für welches  die  Ungleichung erfüllt ist .  Haben die beiden Kurven einen Schnittpunkt?

       x  ²  =  exp  (  x  )     |   sqr       (  2a  )

       x  =  exp  (  x/2  )    |     *    exp  (  -  x/2  )     (  2b  )

    Die Antwort suchen wir über die  ===>  Lambertsche W-Funktion; das Internet ist übrigens voll mit W-Übungsaufgaben . Analog der quadratischen Ergänzung suchst du immer ein vollständiges W zusammen zu bekommen;  in ( 2b ) wird zunächst einmal die e-Funktion neben den Linerarfaktor gestellt .

     x  exp  (  -  x/2  )  =  1   |   *  (  -  1/2   )     (  2c  )

      Angleichen des Koeffizienten in  (  2c  )

     -  x / 2  exp  (  -  x/2  )  =  (  -  1/2  )    |     W      (  3a  )

   Auf der linken Seite von ( 3a ) haben wir unser vollständiges W beisammen.  Mit der W-Funktion aus negativen Zahlen verhält es sich allerdings ähnlich wie mit der Wurzel aus negativen Zahlen;  für  z  <  1 / e  gibt es da keine reelle Lösung mehr . Nun gilt aber die Abschätzung

       2  <  e  <  3   |   ^ -  1     (  3b  )

     1/3  <  1/e  <  1/2      (  3c  )

    so dass  ( 3a ) keine reelle Lösung hat .

Comments

Über die W-Lambert Funktion hatte ich noch wirklich drüber nachgedacht. Hab sie auch nie wirklich kennengelernt.

Aber auch nen cooler Ansatz. :)

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 Es gibt - oder viel mehr gab -  ein fossiles Internetportal .  Nennen wir es Pipapo .  Jetzt ohne Witz;  sein Klarname wird von diesem Editor nicht durchgelassen . Dem gemäß schrieb ich ihn auseinander, weil dieser Editor ja dumm ist .

   Dabei stellt sich nun heraus, dass die ganzen Administratoren meine sämtlichen Ergüsse Punkt für Punkt und Komma für Komma lesen.    Aber nicht um Verbesserungsvorschläge für meine Beweise zu unterbreiten geschweige von mir zu lernen - wo denkst du hin?

    Nein; um mr jedesmal mit Deaktivierung zu drohen, wenn sie wieder das bewusste  Wort lesen müssen ...  Und weil diese Suche begreiflicher Weise Mühe macht,    werde ich dauernd angemault, die  USER   hätten gesagt, meine Beiträge seien zu lang -  wem bitte haben sie das gesagt?

   Ich bin ja nun das typische Genie der zweiten Reihe;  auf dem Niveau popeliger Hausaufgaben sind mir doch einige Entdeckungen geglückt. 

   "  Sag mal hältst du uns für Plem? Meinst du wir merken nicht, dass deine Vorschläge hundert Mal besser sind als das gefic kte Zeug von unserem Schrat?

    Aber wenn wir  etwas benutzen, was der gar nicht kennt. Gar nicht kennen  kann, weil ja du der Entdecker bist.  Mensch dann merkt der doch, dass wir unsere Aufgaben im Internet abschreiben ... "

    Und bei Pipapo gab es einen absoluten Star aus Mannheim;  der betreibt sogar eine Homepage analog Wolfram  ( Die Namen der Genies entfallen mir leider immer. )  Sein Logo:

   Der  ===>  Wittgensteinsche  ===>  HE-Kopf  .   Nennen wir ihn Fürchtegott_Eusebius .   Und für meine Leistungen   hatte Eusebius nichts übrig als hämischen abschätzigen Spott.    Man spürte aber: Er meinte es in dem Sinne, dass ich endlich, endlich mehr leisten solle

   ( was mir hier übrigens noch niemand gesagt hat; der klaschische Lehrer fühlt sich grundsätzlich vom Klassenprimus bedroht. )

   Ja und von eusebius hörte ich eben erstmals, dass es überhaupt so etwas wie eine W-Funktion gibt;  auch auf akademischem Niveau wird sie voll stiefgmütterlich behandelt .   Und man merkte schon.  Als Eusebius mitbekam, dass ich erstmals in der Lage war,  Gleichungen mittels W_Funktion gezielt umzuformen,  sprach mir Eusebius so etwas aus wie zurück haltende Anerkennung  ( Doch; es gab da freilich noch mehr Gebiete, auf denen ich mich mit ihm in die Haare kriegte. )

    Ich will dochmal eine Lanze brechen für dieses Matelounge .  Deaktiviert bin ich hier bisher nur ein einziges Mal.  Dagegen bei Pipapo  erwischte es jeden wohl viele hundert Male ...

    Unser Freund Eusebius  beispielsweise  ( der sich hier bestimmt sehr hübsch machen würde )  wurde deaktiviert im Range eines " Einstein Hoch 4 711 "  , weil er sich den Usern gegenüber  "  arrogant betrage "  Die Geschichte  MEINER  ersten Deaktivierung -  ich habe sie meinem Hausarzt berichtet

   " Herr Dr. ; was machen Sie denn so? "

    Wir mussten die Konsultatioj abbrechen, weil er sich vor Lachen auf die Schenkel schlug.

    Eine 14_jährige Schülerin will nur Spaß

   " Hiiilfe !!!  Ich habe zwei Freunde; wer rettet mich? "

  Was ist bloß los mit der Jugend von Heute?  die größten Rüpel, die ansonsten ihre Klassenbucheinträge vor sich her tragen wie einen Pour_le_Merite, reagieren Moralin sauer

   "  Das gehööört sich nicht; bestelle sie ein zu einer gemeinsamen Aussprache ... "

    Hier denen gehört mal gezeigt, was wirkliche Buildimg ist.  Ich beantworte obige Frage direkt - oder indirekt, ganz wie du es siehst -  unter Bezugnahme auf ein geflügeltes Wort,  die Schlusszeile einer   berühmten Schillerode  ===> Die Bürgschaft ( beides Online; die Original Ode so wohl als die Parodie von Peter Frankenfeld. Parodieren kannst du nur etwas, was jeder wieder erkennt. )

   "  Ich sei - gewährt mir die Bitte - in eurem Bunde der dritte. "

    Das Mädchen  wollte aber nur Spaß .  Darum drückt sie die Taste  2  Missbrauch "   - und hat auch prompt Erfolg . 

   "  Nachricht von einem Administrator.  Wenn du dies liest, bist du bereits deaktiviert.  Du hast versucht, eine minderjährige zur Un zucht anzureizen; dies ist mit unseren Guidelines unvereinbar ....

    Diese Nachricht ist geistiges Eigentum der Moderation und urheberrechtlich geschützt. Jede unbefugte Verbreitung  ist daher mit Strafe bedroht im Sinne des Urheberrechtzsgesetzes ... "

Answer 2

der Ansatz über die Reihen Darstellung ist der richtige!