Aufgabe zu dem Bild einer Matrix

Question

ich sitze gerade an folgender Aufgabe und weiß nicht so recht wie ich vorgehen soll. Ich habe A transponiert und das Bild span{[1,0,1],[0,1,2]} bestimmt. Ich weiß nun nicht wie ich für alle a die Lösung finde. Liebe Grüße.

$$A= \left[\begin{matrix}1&-1&1\\0&1&2\\1&1&5\end{matrix}\right]\in\mathbb{R}^{3\times 3}\text{ und } \vec{b}=\left[\begin{matrix}1\\2\\\alpha\end{matrix}\right]\in\mathbb{R}^3$$

Fur welche  a ∈ R ist b-> ∈ Bild(A)?

Answer 1

Fur welche  a ∈ R ist b-> ∈ Bild(A)?

Bestimme für welche a∈ R das Gleichungssystem A·[x₁,x₂,x₃]^T = b lösbar ist.

Löse dazu das Gleichungssystem A·[x₁,x₂,x₃]^T = b.

Comments

Leider kann ich nicht folgen. steht das T für transponiert und wieder zurücktransponiert? Oder nur transponiert?

ich hätte nun einfach die transponierte und in ZSF gebrachte Matrix A *[x1,x2,x3]=b gesetzt.

Ich weiß aber nicht wie ich das LGS lösen soll.

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steht das T für transponiert

Ja.

und wieder zurücktransponiert?

Nein.

Ich weiß aber nicht wie ich das LGS lösen soll.

Mit dem Gauß-Verfahren.

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Wie soll ich bei A*(x1,x2,x3)=b das Gaußverfahren anwenden? dann würde ja z.b in der letzten Zeile stehen 0x1+0x2+0x3=a

in der zweiten x2+2t(frei wählbare variable)=2, wie löse ich das?

LG

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Wie soll ich bei A*(x1,x2,x3)=b das Gaußverfahren anwenden?

So wie bei anderen Gleichungssystemen auch.

dann würde ja z.b in der letzten Zeile stehen 0x1+0x2+0x3=a

Wenn dem tatsächlich so ist, dann muss a=0 sein. Was dann die Frage beantwortet, für welche a∈R b im Bild von A ist.

Meiner Rechnung nach ist aber 0x1+0x2+0x3 nicht gleich a.

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Wäre es okay, wenn du mir das einmal vorrechnest, ich kann es nicht umsetzen?

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Wo liegt das Problem? Kannst du A auf Zeilenstufenform bringen?

Answer 2

  Ick sehe jar kee n  a ; ick sehe nur Konstanten.  Ansonsten kannick det; da binnick janz jrooß  drinne ...

Comments

  Tschuldigung; dein a hatte ich übersehen .  Du hast doch ganz typisch diese Aussage

   " Allgemeine Lösung des  LGS  =  Sonderlösung  +  ===>  Kernvektor  "    (  1  )

    Machen wir nicht zu viel auf einmal; gute Matematik zerlegt stets das Problem. Zunächst den Kern .

        x  -  y  +      z  =  0    |   :  z          (  2a  )

               y  +  2  z  =  0    |  :  z          (  2b  )

      x  +  y  +  5  z   =  0    |  :  z         (  2c  )

   Hier nun stelle ich dir meinen Divisionstrick Marke Eigenbau Habakuk vor. Wir schlagen gleich zwei Fliegen mit einer Klappe;  trotz Division bleibt das  LGS  linear,   weil ja rechts null steht.  Und die Anzahl der Unbekannten wird auf zwei reduziert;  zwei Unbekannte gelten aber als beherrschbar.  Wir setzen

     X  :=  x / z  ;  Y  :=  y / z      (  3  )

     In den neuen Unbekannten lauten ( 2a-c )

    X  -  Y  =  (  -  1  )            (  4a  )

            Y  =  (  -  2  )            (  4b  )

   X  +  Y  =  (  -  5  )             (  4c  )

    Dann lauten  ( 4a;c ) überein stimmend  x  =  (  -  3  )   und der Kern

     Kern  =  (  3  |  2  |  -  1  )          (  5  )

   Freilich ist Division durch z in ( 2a-c ) nur erlaubt, falls es keinen nicht trivialen Kernvektor mit z = 0 gibt .  Doch in dieser Beziehung können wir Entwarnung geben;  dann würde ja bereits aus ( 2b ) folgen  y  =  0 .

    Betrachten wir jetzt dein  ursprüngliches inhomogenes  LGS .   Kaum zu glauben aber wahr. Genau wie  oben in ( 2a-c )  schmeißen wir auch hier wieder z aus der Koeffizientenmatrix ( KM ) hinaus; wie das?

   Erinnern wir uns; in  ( 1 )   hatten wir gesagt, was uns reicht, ist eine Sonderlösung .   Angenommen   (  6a  )   ist eine Lösung

      (  x0  |  y0  |  z0  )       (  6a  )

    dann aber auch

   ( x | y | z ) :=  ( x0 | y0 | z0 ) + z0 * Kern  =     (  6b  )

  =  (  x0  +  3  z0  |  y0  +  2  z0  |  0  )     (  6c  )

   so dass ich dein Ausgangssystem gleich ohne z notiere.

        x  -  y  =  1         (  7a  )

               y  =  2        (  7b  )

       x  +  y  =  a        (  7c  )

    Mach dir bitte klar, dass ( 7a-c ) die selbe  KM  hat wie ( 2a-c )    In  ( 7a ) hast du x  =  3   Damit ist  ( 7c  ) aber nur lösbar für  a  =  5  .