Injektiv / surjektiv / bijektiv bei Matrix

Question

$$ A = \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { - 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 2 } \\ { 1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right] \in R ^ { 3,3 } \text { und } \vec { b } = \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 2 } \\ { \alpha } \end{array} \right] \in R ^ { 3 } $$

Ist \( \vec { x } \mapsto A \vec { x } \) injektiv/surjektiv/bijektiv?

Leider weiß ich nicht wie ich eine Matrix auf injiektivität/surjektivität überprüfe.

Könnte mir jemand auf die Sprünge helfen (weiß nicht was x ist).

Answer 1

Leider weiß ich nicht wie ich eine Matrix auf injiektivität/surjektivität überprüfe.

Injektiv: Wenn Ax = Ay ist, dann ist x = y.

Surjektiv: Ax = y ist für jedes y lösbar.

Bijektiv: Die Matrix ist injektiv und surjektiv.

Comments

das habe ich verstanden. Ich weiß nur nicht was mein x-vektor ist, mit dem ich das überprüfen kann.

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was mein x-vektor ist

Der ist \(\begin{aligned} x_1\\x_2\\x_3 \end{aligned} \). Und \(\vec{y} = \begin{aligned} y_1\\y_2\\y_3 \end{aligned} \).

Answer 2

    Ich habe mir soooo Mühe gegeben .

https://www.mathelounge.de/561137/aufgabe-zu-dem-bild-einer-matrix?show=561152#a561152

       Was hoffst du eigentlich damit zu erreichen, dass du die nämliche Matrix  ein weiteres Mal reinstellst?  Inzwischen  solltest du längst alle Antworten kennen.

Comments

Ich habe deine Antwort gelesen und du hast mir weitergeholfen, diese Frage hier, bezieht sich aber auf eine andere Aufgabe.

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  Es ist Haar genau die selbe Matrix . Du hast verstanden, dass ihr Kern nicht trivial ist;  im Vordiplom fragen sie dich zudem den Rangsatz ab .

   Was folgt über die Injektivität bei nicht trivialem Kern?  ( Eine Aussage, die sich bereits aus der Gruppenteorie bzw. dem Kern von Gruppenhomomorphismen herleitet; schau nochmal in deine Aufzeichnungen.

   In der Vorlesung bist du doch ein Mitschreiberling und Nixverstehling - oder sollte ich mich  in dir getäuscht haben?