f(x)=ax^2+bx+c? Lösung? Scheitelpunktform

Question

Bringe die Funktion in die Scheitelpunktform. lönnte jemand das schreitweise erläuter.?

also wie komme ich zu dieser Form ohne Zahlen.

f(x)=a(x-d)^2+e

Answer 1

Hallo Ismail,

$$f(x)=ax^2+bx+c$$

Zuerst a ausklammern:

$$f(x)=a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})$$

Dann die quadratische Ergänzung:

$$f(x)=a((x+\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2+\frac{c}{a})$$

zusammenfassen

$$f(x)=a((x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a})\\=a((x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a^2})$$

Also gilt

$$d=\frac{b}{2a}$$

und

$$e=a\cdot\frac{4ac-b^2}{4a^2}=\frac{4ac-b^2}{4a}$$

Gruß, Silvia

Comments

Da hast du ein Minuszeichen vergessen:  $$ d = - \frac{b }{2a} $$

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Hallo Silvia,

man kann es noch etwas zusammen fasse: \(x_s\) also die X-Koordinate des Scheitels ist: $$x_s = \frac{-b}{2a}$$ und die Y-Koordinate \(y_s\) ist: $$y_s = \frac{4ac-b^2}{4a} = c - \frac{b^2}{4a} = c - a\cdot x_s^2$$

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Wolfang, ich habe das Minuszeichen weggelassen, weil es in der Scheitelpunktform vor dem d in der Klammer steht.

Werner, das ist natürlich noch besser.

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Hallo Silvia,

f(x) = a ( x - d)² + e

bei dir steht

$$f(x) = ((x\color{blue}{+ \frac{b}{2a}})^2 .... $$das ergibt$$d = - \frac{b}{2a} $$

Gruß Wolfgang

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Danke, Wolfgang, jetzt habe auch ich verstanden, was du meinst.

Answer 2

f(x)=ax²+bx+c Dividieren durch a:

f(x)/a=x²+b/a·x+c/a Subtrahieren von c/a:

f(x)/a - c/a=x²+b/a·x Addieren der quadratischen Ergänzung (b/(2a))² auf beiden Seiten:

f(x)/a - c/a+(b/(2a))²=x²+b/a·x+(b/(2a))² Umformung mit bin. Formel:

f(x)/a - c/a+(b/(2a))²=(x+b/(2a))²

Setze b/2a=-d und c-b²/(4a)=e und löse nach f(x) auf.