Parabel an Funktion annähern

Question

Eine Parabel g: ax^4 + bx^2 + c soll den Graphen der Funktion f: (2-x^2)*e^-(x^2)/4

unter folgenden Bedingungen annähern.

1. Parabel hat gleiche Schnittpunkte mit Koordinatenachsen wie f

= Nullstellen von f: ±√2

g(x): ax^4 + bx^2 + c = ±√2

2. Zwei Extremalstellen von g liegen bei x=±√6

g(x): ax^4 + bx^2 + c = ±√6

Ich komme jetzt aber nicht mehr weiter.

Answer 1

Zwei Extremalstellen von g liegen bei x=±√6   ==>   g ' ( ±√6   ) = 0 ,

also 4ax^3 + 2bx = 0 für   x=±√6

==>   24a + 2b = 0      ==>   b = -12a

und  g(√2) = 0  gibt   4a + 2b + c = 0

und g(0)=f(0) gibt   c = 2  ,

Also    4a  -24a + 2 = 0   ==>   a = 0,1

==>   g(x) = 0,1*x^4   - 1,2x^2  + 2

Answer 2

ax^4 + bx^2 + c = ±√2
falsch
besser
a*(±√2)^4 + b*(±√2)^2 + c = 0
4a  + 2b + c = 0

g(x): ax^4 + bx^2 + c = ±√6
besser
g´( x ) = 4ax^3 + 2bx
4a(+√6 )^3 + 2b(+√6 )   = 0
und
4a(-√6 )^3 + 2b(-√6 )  = 0

Soll auch gelten das die Extrempunkte
g und f gleich sind ?

Comments

Ich habe die gesamte Aufgabenstellung abgeschrieben. Ich denke daher nicht.

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Was heißen die beiden Funktionen richtig ?

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Obige Funktionen stimmen.
Es gelten folgende Aussagen
Die Nullstellen sind gleich.
f ( √2 ) = 0 = g ( √2 )
Die Extremstellen sind an der gleichen Stelle
und haben denselben Funktionswert.
f ( √6 ) = -4 * e^{-3/2} = g ( √6 )
f ´ ( √6 )  = 0 = g ´ ( √6 )

g ( x ) = ax^4 + bx^2 + c
g ´ ( x ) = 4 * a * x^3 + 2 * b * x

g ( √2 ) = 0  | Nullstelle
g ´ ( √6 ) = 0  | Extrempunkt
g ( √6 ) = -4 * e^{-3/2} | Extrempunkt

Die Gleichungen vollständig ausschreiben.
3 Gleichungen mit 3 Unbekannten.
Lösung g =

( o-joi-joi-joi )
Dürft Ihr einen GTR benutzen ?

Answer 3

    Im Gegensatz zu deinem Lehrer habe ich ja meine Hausaufgaben gemacht - eine vollständige Kategorienlehre der biquadratischen Funktion ( BQF )   für Formelsammlung, Regelheft und  Spickzettel . Ihre Normalform lautet

     f  (  x  )  :=  x  ^  4  -  p  x  ²  +  q     (  1  )

    Und zwar wird die  ===>  Topologie der Kurve ausschließlich durch  p bestimmt .  Für p  <  0  hast du V_Form analog Parabel .  Jedes gerade Polynom nimmt auf |R sein absolutes Minimum an;  für  ( 1 ) wäre das natürlich

        (  x  |  y  )_min  =  (  0  |  q  )       (  2a  )

     Im Falle p  >  0  ergibt sich W_Form; dann wird  ( 2a ) selbst redend die mittlere Spitze des  W ,  ein  (  lokales  )  Maximum.  Die Minima liegen dann bei

    x1;2  (  min  )  =  -/+  sqr  (  p/2  )  ===>  p  =  12     (  2b  )

    Ihr alle kennt diese z_Substitution

     z  :=  x  ²     (  3a  )

    Dann wird   ( 1 )

     f  (  z  )  =  z  ²  -  p  z  +  q       (  3b  )

    Wie geht man vor, wenn mam bereits eine Nullstelle der Parabel kennt?  Heißer Tipp; Vieta das geschmähte Stiefkind

      p  =  z1  +  z2  =  12      (  4a  )

     z1  =  2  ===>  z2  =  10     (  4b  )

    q  =  z1  z2  =  20      (  4c  )

   Noch zu meiner   o.e.  Kategorienlehre;  ich mache euch ferner    aufmerksam auf eine Konsequenz aus der cartesischen Vorzeichenregel. Notwendig für zwei reelle Wurzelpärchen so wie hier ist bei  einer  BQF  stets die Ungleichung  p  >  0  ,  q  >  0