Population an Rehen im Naturschutzgebiet ist um 8,0% pro Jahrzehnt gestiegen - Population?

Question

Es geht um folgende Aufgabe, bei der ich nicht weiter weiß:

Die Population an Rehen im Naturschutzgebiet ist um 8,0% pro Jahrzehnt gestiegen und nimmt auch weiterhin mit derselben Geschwindigkeit zu. In wie vielen Jahren wird die Population 1,5 mal so groß sein wie heit?

Ich bin wie folgt herangegangen. Da im Buch die für den exponentiellen Zuwachs geltende Formel die folgende ist: \( N = N 0 · e ^ { \lambda ^ { · _ { t } } } \), habe ich die Formel wie folgt nach t mit den Werten umgeformt.

$$ \frac { N } { N O } = 0,08 = e ^ { \lambda ^ { · _ { t } } } $$

Dann anschließend habe ich den Kehrwert gebildet.

$$ \frac { N O } { N } = 12,5 = e ^ { - \lambda t } $$

Jetzt würde noch den ln bilden und mal 1,5 rechnen.

$$ \frac { \ln ( 2 ) } { \lambda } · 1,5 = t _ { 1,5 } $$

Irgendwie scheint das aber nicht zu stimmen, da im Buch 51 a als Lösung angegeben ist.

Comments

Die Rate war in "pro Jahrzehnt" angegeben. Hast du das beachtet?

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Genau das weiss ich nicht, wie ich das in die Formel einsetzen soll. Ich glaube das wäre dann ln(12,5) * 10 ?

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Dein Ansatz ist im Hinblick auf die eigentliche Aufgabe sehr kompliziert, ich würde das so rechnen:

10*ln(1.5)/ln(1.08) = 52.68446244

Nach oben auf ganze Jahre gerundet also 53a. Das Buchergebnis kann ich mir nicht erklären, vielleicht liegt das an unnötig gerundeten Zwischenergebnissen.

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Wenn du dafür noch eine allgemeine Formel angeben könntest, wäre ich glücklich :)
Ich verstehe den Term mit dem Bruch nicht. Was ist denn bei dir Lambda ?

Im Buch hat Lambda einen Zusammenhang mit der Halbwertszeit

Bsp:

$$ t _ { u 2 } = \frac { \ln ( 2 ) } { \lambda } = \frac { 0,693 } { \lambda } $$

$$ \lambda = \frac { \ln ( 2 ) } { t _ { 1/2 } } $$

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Be einem exponentiellen Prozess mit dem Veränderungsfaktor \(q\) beträgt die Ver-\(k\)-fachungszeit \(t_k\) eines beliebigen Bestandes

$$t_k=\dfrac{\ln(k)}{\ln(q)}$$

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Ich habs jetzt mal wie folgt gemacht. Da ich mich ungern von der Literatur oder dem Buch trennen möchte, hier mein erneuter Ansatz:

N/N0 = 1,5 = e^{\lambda*t}
Kehrwert:
N0/N = 2/3 = e^-(\lambda*t)

Jetzt nach t auflösen:

ln(2/3) = -\lambda * t

ln(2/3)/\lambda = -t

-t = -5,268446244 | * (-1)

t = 5,268446244 in Jahrzehnten; in Jahren *10

t * 10 = 52,68446244 \approx 53 a

eine kleine Frage noch am Rande warum ist lambda hier stets 1 auch bei einer anderen Aufgabe die ich gestern gepostet hatte mit dem Kondensator Bsp als Bild:
Da hiess die Aufgabe wie folgt:
Die Entladezeitkonstante \tau eines Kondensators in einem RC-Kreis ist die Zeit, in der sich der Kondensator auf e^{-1} (entsprechend 0,368) seiner Ausgangsladung bei t = 0 entlädt.(siehe Skizze). Für einen Kondensator ist \tau = 1s. In welcher Zeit t (in Sekunden) hat sich der Kondensator auf 50,0 % seiner Anfangsladung entladen ?

Und dann habe ich noch eine Aufgabe, wo \lambda einen ganz anderen Wert aufweisst Bsp Aufgabe:
Die Halbwertszeit von Cobald-60(60 Co) beträgt 5,27a. Zum Zeitpunkt t = 0 haben Sie eine Probe von 60 Co mit einer Masse von 12,00mg. Nach welcher Zeit (in Jahren) sind 4,00mg des 60Co zerfallen.

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Ich habe gerade festegestellt, dass man als "Dritter" nicht mehr zu einer Antwort kommentieren kann, wenn sie vom Fragesteller als "Beste Antwort" klassifiziert wurde. Daher hier noch eine Nachfrage an georgborn zu seiner Antwort (wie auch der anderen, die hier geantwortet haben) und zur Diskrepanz zur Lösung im Buch (51 a). Ich bin heute morgen in einer Art "wildem Ritt über den Taschenrechner" (ohne eine bewusst eingesetzte Formel) auf 50,86 a gekommen, was ich natürlich nicht als Antwort gepostet habe, weil der Fragesteller Hully_Gully ja innerhalb seines Buches und seines dort gelehrten Handwerkzeugs bleiben wollte. Unabhängig von deinem Hinweis auf die Zinzeszinsrechnung hatte auch ich mich an die sog. "72er-Regel" (@Wikipedia) erinnert und daran, das diese auch explizit auf Populationsraten angewandt werden kann. Mit dieser bin ich auf 50,68 a gekommen (natürlich mit ln(1.5) statt ln(2) gerechnet). Meine beiden Ergebnisse lagen also deutlich näher an der im Buch angegebenen Lösung. Eure Lösungen habe ich inzwischen rechnerisch nachvollzogen und bin auf die gleichen Ergebnisse gekommen. Meine Frage als mit Fragen und Antworten hier Mit-Lernender ist also, ob du, oder ein anderer der hier noch Mitlesenden, eine nachvollziehbare Erklärung für die Diskrepanz haben. Wie gesagt, das ist eine ergänzende Kann-Frage im Zusammenhang mit Hully-Gullys Ursprungsfrage, als eigenständige Frage im Forum möchte ich sie nicht stellen.

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50,68

Du mußt schon angeben was / wie du gerechnet
hast.

Ansonsten gilt
1.08 ^t = 1.5

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@Hulli_Gulli: Dein Ansatz lässt sich erheblich vereinfachen, ohne mit der Vorgehensweise des Buches zu brechen:

Ich habs jetzt mal wie folgt gemacht. Da ich mich ungern von der Literatur oder dem Buch trennen möchte, hier mein erneuter Ansatz:

N/N0 = 1,5 = e^\lambda*t     [Bei solchen Fragen kann N0 regelmäßig auf 1 gesetzt werden.]
Kehrwert:
N0/N = 2/3 = e^-(\lambda*t)     [Die Kehrwertbildung kann weggelassen werden.]

Jetzt nach t auflösen:

ln(2/3) = -\lambda * t

ln(2/3)/\lambda = -t

-t = -5,268446244 | * (-1)

t = 5,268446244 in Jahrzehnten; in Jahren *10

t * 10 = 52,68446244 \approx 53 a

Weiter lässt sich wegen \(\lambda=\ln(1.08)\) der Ansatz zu

$$1.5 = \text{e}^{\ln(1.08)\cdot t}$$vereinfachen, was nach logarithmieren und umstellen die Lösung (in Jahrzehnten) liefert.

Answer 1

Du kannst stark vereinfachen.
Mit e würde ich nicht rechnen.

1.08 * 1..08 * 1.08 * ... = 1.5

1.5 = 1.08 ^t
ln( 1.5 ) = ln ( 1.08^t ) = t * ln (1.08 )
t = ln( 1.5 ) / ln(1.08)
t = 5.268 Jahrzehnte

Comments

"Mit e würde ich nicht rechnen."

Offenbar muss man das hier, wenn die andere Formel nicht bekannt ist.

Die Tendenz geht zu e-Fkt. bei solchen Aufgaben. So mein Eindruck.

Statt mit dem Wachstumsfaktor, der mir persönlich sympathischer, weil anschaulicher, ist, soll mit der Wachstumskonstante gerechnet werden.

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Da ich beim Kapitel Differenzialrechnung bin, müsste ich es mit der Exponentialfunktion machen. Natürlich wird es auch andere Methoden geben aber ich würde gerne bei der Formel:

$$ N = N 0 * e ^ { \lambda ^ { * _ { t } } } $$

bleiben.

Als Ergebnis müsste 51 a heraus kommen.

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Zu deiner Information :
Der Prozess ist eine Exponentionalfunktion.
Die Variable steht im Exponent.

Vergleich mit der Zinseszinsrechnung
K ( t ) = K0 * fak ^t
K0 = 1000
Zins = 8 %
Zeit 4 Jahre
Faktor = 1 + Zins/100 = 1.08
K ( 4 ) = 1000 * 1.08 ^4 = 1000 * 1.36
K ( 4 )  = 1360

Die Basis einer Exponentialfunktion
ist beliebig und kann umgewandelt werden
1.08 ^t = e ^{a*t}  | ln
ln ( 1.08 ^t ) = a * t
t * ln (1.08 ) = t * a
a = ln ( 1.08 ) = 0.077

1.08 ^t = e ^{0.077*t}
Wenn du dir die beiden Funktionen einmal
plotten läßt wirst du sehen : diese sind
identisch und liegen übereinander.

Zu den Rehen
N ( t ) = N0 * e ^{0.077*t}
N ( t ) / N0 = 1.5
N ( t ) / N0 = e ^{0.077*t} = 1,.5
e ^{0.077*t} = 1,.5  | ln
0.077 * t = ln ( 1.5 )
t = 5.27 Jahrzehnte.

Bitte frag nach bis alles klar ist.

Wenn ich mir eine andere Aufgabe noch
anschauen soll dann gib diese an.

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Also dein Vergleich sieht schon sehr überzeugend aus.

Bei weiteren Aufgaben würde ich mich auf jeden Fall freuen wenn du dich auch dazu beteiligen könntest.

VG und VD :)

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Mach ich.
mfg Georg

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@georborn ich hatte bis jetzt nicht die Zeit den Vergleich mir richtig durchzulesen und deswegen war das vorhin auch nur eine Randnotiz. Falls dazu noch Fragen sein sollte, werde ich mich dazu melden. Nichts desto trotz hat der Vergleich, mir bei meinem Problemen um das Aufgabenverständnis auf Anhieb schon mal wesentlich erleichtert. Genau deswegen auch der Stern.

VG :)

Answer 2

e^L = 1,08

L= ln 1,08

1,5 = e^{L*t}

t= ln1,5/L

t= 5,27

Comments

Die Zerfallskonstante \lambda erschließt sich mir bei dir nicht.

Du sagst e^{lambda} = 1,08 woher weiss ich das und was ist e^{lambda}

Das aus 8 prozent = 100 + 8 = 108/100 = 1,08 wird habe ich verstanden aber der Rest irgendwie nicht. Zudem kommt das t hier 51a sein soll. Hmm vielleicht könntest du deine Schritte mal erklären.

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e^{lambda} = 1,08

Es gilt immer: e hoch Wachstumskonstante = Wachstumsfaktor (hier 1+0,08 = 1,08)

Answer 3

   1.08  ^  t/10  =  1.5   |   lg     (   1  )

   t/10  *  3.3 4238  (E-2)  =  .1761  =  52.69  J