Extremalaufgabe - Aus Karton ein Quadrat ohne Deckel gefaltet -> Welche höhe b für maximales Volumen ?

Question

(Skizze ist eigentlich symmetrisch)

Aufgabe
Aus einem quadratischen Karton (Weite 30cm) soll durch Ausstanzen der schraffierten Fläche und Zusammenfalten eine Schachtel ohne Deckel mit maximalem Volumen entstehen.

Wie hoch ist die Schachtel ?

Frage
Ich kann nur aufgrund Der Symmetrie der Skizze im Buch abschätzen, dass bei einer Kartonlänge von 30cm 
Eine Seite des Quadrates 15cm sein muss. und die schraffierten Flächen haben 7.5 cm jeweils. 

Wenn b = 7,5
Volumen = Fläche * Höhe = a^{2} * b = 15^{2} * 7.5 = 1687.5 cm^{3}

Das macht bei mir aber nur das Auge, wie wäre das rechnerisch zu zeigen?

Comments

Was soll denn ein "Quadrat ohne Deckel" sein?

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Wahrscheinlich meinten die einfach einen "offenen" Behälter. Aber das macht im Prinzip keinen Unterschied. Ausser, dass aus dem Karton nicht zusätzlich Material für einen Deckel verloren geht.

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Also ich vermute, dass es eigentlich "Quader" statt "Quadrat" heißen müsste...

Answer 1

du brauchst eine Hauptbedingung und eine Nebenbedinung, um deine Zielfunktion (repräsentiert hier das Volumen) zu erhalten. Die Hauptbedingung steht ja schon da:

$$ HB:\quad V(a,b)=a^2\cdot b $$

Wie könntest du nun eine Nebenbedingung aus der Skizze basteln, damit deine Volumenfunktion nur noch von einer Unbekannten abhängt?

Hast du dann die Nebenbedingung ein HB eingesetzt, hast du deine Zielfunktion (ZF) und musst nur noch damit eine harmolse Kurvendiskussion durchführen.

Comments

Meine Idee ist, dass die NB b = a/2

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Das wäre aber nur ein möglicher Spezialfall. Betrachte mal die Seitenlänge vom Blatt (30 cm) und versuch mal damit eine Nebenbedingung aufzustellen.

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EDIT: In anderen Worten.

Wie kannst du hier die Seitenlänge durch a und b ausdrücken?

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Die ganze Seite ist ja 30cm

davon ist (wahrscheinlich) a = 15cm 

1. Möglichkeit

b+a+b = 30       I a = 15
2b + 15 = 30     I -15
2b = 15
b = 7.5 

2. Möglichkeit

b + a + b = 30cm 
2b + a = 30
2b = 30 - a
b = (30-a)/2

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Die 2. Möglichkeit ist sinnvoller. In der 1. Möglichkeit legst du ja schon automatisch fest, was a sein soll. Das kann man aber nicht wissen. Bei manchen könnte man das schnell einsehen. Aber bei komplizierteren Sachverhalten ist das leider nicht mehr ganz so offensichtlich einzusehen.

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Super, ich kriege 

b = 5 cm 

und nach Einsetzen in die NB 

a = 20 cm

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Perfekt !

:)

Answer 2

a= 30-2b

V(b) = (30-2b)^2*b = 900b-120b^2+4b^3

V'(b) =0

12b^2-240b+900 = 0

b^2 -20b+900/12 = 0

pq-Formel anwenden

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