Funktionsgleichung von Champagnerglas das die Form einer Parabel 2. Ordnung hat

Question

Ein Champagnerglas hat im Querschnitt die Form einer Parabel 2. Ordnung. Das Glas hat oben einen Durchmesser von 4.4cm und eine Tiefe von 12.1 cm.

1. Bestimme die Funktionsgleichung:

Weil die Funktion ja 2. Ordnung ist habe ich

f(x) = ax^2 + b

Weiss aber nicht wie ich a und b herausfinde.

Anschliessend müsste ich einen Zylinder mit grösstmöglichen Inhalt in das Glas konstruieren. Wie muss ich dann dabei vorgehen?

Vielen Dank schonmal!

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Aufgabe (OCR-Abschrift nach Foto):

Ein Champagnerglas hat im Querschnitt die Form einer Parabel 2. Ordnung. Das Glas hat oben einen Durchmesser von 4.4 cm und eine Tiefe von 12.1 cm.

(a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung \(f(x)\) der Parabel. Wählen Sie dazu den Ursprung im tiefsten Punkt der Parabel.

Denken Sie sich ab hier das Glas liegend.

(b) Welche Funktion g(x) beschreibt die obere Hälfte der gekippten Parabel? (Tipp: Umkehrfunktion)

Falls Sie die Aufgabe b) nicht lösen konnten, dann rechnen Sie mit der (falschen) Umkehrfunktion \(h(x)=\sqrt{3x}\)  weiter.

(c) Um das Glas vorgängig zu kühlen, wird ein Eis-Zylinder (gerader Kreiszylinder) mit maximalem Volumen in das Glas gelegt, der oben nicht über den Rand herauschauen soll. Berechnen Sie seine Höhe und sein Volumen.

(d) Ein anderer Hersteller möchte für das Glas die Funktion \(k(x)\) mit \(k(x)=\sqrt{\dfrac{-3}{2x+1}+3}\) mit \(x\ge0\) um die \(x\)-Achse rotieren lassen. Sein Glas soll eine Tiefe von 12 cm haben. Passt 1 dl Champagner in dieses Glas?

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Welcher übereifrige Moderator hat denn meinen schönen Text, den ich nicht zuletzt deswegen geschrieben habe, weil ich dann darunter ein paar Lösungsansätze hätte schreiben können, ohne dabei blättern zu müssen, zu einem Kommentar zur Frage gemacht?

Answer 1

Ein Champagnerglas hat im Querschnitt die Form einer Parabel 2. Ordnung. Das Glas hat oben einen Durchmesser von 4.4cm und eine Tiefe von 12.1 cm

f ( x ) = ax^2 + bx + c
ich gehe einmal davon aus das das Glas
achsensymmetrisch zu y-Achse ist.
f ( x ) = a*x^2 + c
f ( 2.2 ) = 12.1
Noch sind 2 Unbekannte vorhanden.
Ich gehe einmal davon aus das mit " Tiefe "
das Innenmaß des Glases gemeint ist
f ( x ) = a*x^2
f ( 2.2 ) = a * 2.2 ^2 = 12.1
a = 2.5
Eine fast ganzzahlige Lösung. Passt ganz gut.

f ( x ) = 2.5 * x^2

Jetzt müßte ich ein Bildchen malen.
( kann noch geschehen )
Höhe Zylinder = 12.1 minus Funktionswert
an der Stelle x.
r Zylinder = x

Volumen = r^2 * π * h
Volumen = x^2 * π * (12.1 - f ( x ) )
Volumen = 12.1 * x^2 * π - 12.1 * x^2 * ( 2.5 * x^2 )
Volumen = 12.1 * x^2 * π - 12.1 * 2.5 * x^4
Extremwert
1.Ableitung bilden
zu null setzen
und x berechnen
Volumen ´( x ) = 24.2 * x * π  -  48.4 * 2.5 * x^3
24.2 * x * π  -  48.4 * 2.5 * x^3  = 0
ausklammern und den Staz vom Nullprodukt
anwenden
x * ( 24.2 * π  -  121 * x^2  ) = 0
x = 0 ( min Wert )
und
24.2 * π  -  121 * x^2 = 0
x = 0.79 ( max Wert )

Bitte nachrechnen.
Bei Bedarf wieder melden.

Comments

Vielen dank!

Ich konnte der Rechnung folgen. Gem Lösung ist die Höhe aber 6.05cm wie komme ich da drauf?

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So sieht das Innere des von mir
berechneten Champagnerglases aus.

Ist im Lösungsbuch auch eine Berechnung
angegeben ?

Foto von Aufgabe oder Berechnungsweg
einstellen.

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Nein, es ist kein Berechnungsweg vorhanden. 

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Volumen = x^{2} * π * (12.1 - f ( x ) )
Volumen = 12.1 * x^{2} * π - 12.1 * x^{2} * ( 2.5 * x^{2} )

Die erste Zeile ist noch richtig, bei der zweiten ist irgendwas schiefgegangen.

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Was gibt es dazu zu sagen ?

f ( x ) = 2.5 * x^2
y = 2.5 * x^2
Umkehrfunktion
x = 2.5 * y^2
y = √ ( x / 2.5 )
Die in der Lösung angegebene " falsche "
Umkehrfunktion
y = √ (3x) stimmt überhaupt nicht.
blau Funktion
rot die richtige Umkehrfunktion
grün " falsche " Umkehrfunktion
( wie zu sehen - völlig falsch )

Wahrscheinlich wurde die " falsche " Umkehr-
funktion falsch angegeben und soll heißen

y = √ ( 3 / x )
( Vermutung )

Es erhebt sich allerdings die Frage wozu
eine Umkehrfunktion überhaupt nütze ist.

Die Aufgabe ist eine " Extremwertaufgabe "
bei der die Hochstellung des Glases beibehalten
werden kann.

Ein Kippen des Glases wäre nur dann notwendig
falls das ( Rotations- ) Volumen des Glases
berechnet werden soll.

Es soll aber nur das Volumen des Zylinders
berechnet werden.

Soviel zunächst.

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Wie müsste ich denn weiterrechnen wenn ich das Glas hinlegen würde?

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Korrektur
Volumen = x^2 * π * (12.1 - f ( x ) )
Volumen = 12.1 * x^2 * π - π * x^2 * ( 2.5 * x^2 )
Volumen = 12.1 * x^2 * π - π * 2.5 * x^4
Extremwert
1.Ableitung bilden
zu null setzen
und x berechnen
Volumen ´( x ) = 24.2 * x * π  -  10 * π * x^3
24.2 * x * π  -  10 * π * x^3
ausklammern und den Staz vom Nullprodukt
anwenden
x * ( 24.2 * π  -  10 * π * x^2  ) = 0
x = 0 ( min Wert )
und
24.2 * π  -  10 * π * x^2 = 0
x = 1.556 ( max Wert )

Funktionswert
f ( 1.556 ) = 6.05
h = 12.1 - 6.05 = 6.05 cm
Damit hätten wir schon einmal die Lösung
im Buch.

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x = r = 1.556 cm
h ( Zylinder ) = 12.1 minus f ( 1.556 )
h = 6.05 cm
V = r^2 * π * h = 46 cm^3

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k ( x ) = √ ( -3 / (2*x+1) + 3)
r  = k
A = r^2 * π = ( -3 / (2*x+1) + 3) * π
Stammfunktion
S = π * ( ln ( 2*x+ 1 ) * (-1.5) + 3x )
V = [ S ] zwischen 0 und 12
V = 97.93 cm^3
1 liter = 1000 cm^3
1 dl = 100 cm^3