Stellen Sie eine Koordinatendarstellung von F auf. nur b&c

Question

Text erkannt:

10. Gegeben ist die Ebene \( E: \vec{x}=r\left(\begin{array}{c}2 \\ -1 \\ 1\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 3\end{array}\right), r, s \in \mathbb{R} \).
a) Zeigen Sie, dass \( E \) die Koordinatendarstellung \( -5 x-4 y+6 z=0 \) besitzt.
b) Eine zu E parallele Ebene \( \mathrm{F} \) schneidet die \( \mathrm{z}- \) Achse bei \( \mathrm{z}=1 \).
Stellen Sie eine Koordinatendarstellung von \( \mathrm{F} \) auf.
c) \( G: \vec{x}=r\left(\begin{array}{c}2 \\ -1 \\ 1\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right) \) soll eine zu E senkrechte Ebene darstellen. Berechnen Sie die Koordinaten des 2. Richtungsvektors von G.

Aufgabe:

Answer 1

Hallo,

b) Eine zu E parallele Ebene \( \mathrm{F} \) schneidet die \( \mathrm{z}- \) Achse bei \( \mathrm{z}=1 \).Stellen Sie eine Koordinatendarstellung von \( \mathrm{F} \) auf.

Auf der Z-Achse sind die X- und Y-Koordinate =0. Und damit \(F\) parallel zu \(E\) verläuft, darf am Verhältnis der Koeffizienten nichts verändert werden. Setzt man \(x=y=0\) so bleibt:$$0 + 0 + 6z = 0$$Damit die Gleichung für \(z=1\) aufgeht - und die 6 vor dem \(z\) nicht geändert werden darf, schreibt man:$$z=1 \implies 6 z = 6$$Somit lautet die Koordinatenform von \(F\)$$F: \quad -5x-4y+6z=6$$

c) \( G: \vec{x}=r\left(\begin{array}{c}2 \\ -1 \\ 1\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right) \) soll eine zu E senkrechte Ebene darstellen. Berechnen Sie die Koordinaten des 2. Richtungsvektors von G.

Das der Vektor \(\begin{pmatrix}2\\ -1\\ 1\end{pmatrix}\) bereits senkrecht auf dem Normalenvektor \(\begin{pmatrix}-5\\ -4\\ 6\end{pmatrix}\) von \(E\) steht*), benutze einfach diesen Normalenvektor von \(E\) für den zweiten Richtungsvektor:$$\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5\\ -4\\ 6\end{pmatrix}$$*) prüfe das mit dem Skalarprodukt.

Gruß Werner

Comments

Nachtrag:

Es ist nicht zwingend notwendig, dass \(\begin{pmatrix}2\\ -1\\ 1\end{pmatrix}\) senkrecht auf \(\begin{pmatrix}-5\\ -4\\ 6\end{pmatrix}\) steht, aber er darf nicht linear abhängig sein. Wenn das Skalarprodukt =0 ist, ist er dies sicher nicht!

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zur Anschauung:

(klick auf das Bild)

Answer 2

Hallo

a) entweder setze x=2r+2s y=.., z=-- in die Gleichung ein und sieh nach ob sie stimmt. oder löse x=..,y=.. nach r und s auf , setze es in z ein, dann sollte sich die Koordinaten. ergeben.

b) eine zu E parallel Gleichung hat denselben Normalenvektor aber statt =0  eben =d

setze x=y=0, z=1 in die Gleichung ein und bestimme d

c) da du ja den Normalenvektor von E kennst, sollte das leicht sein

Gruß lul