Bruchungleichung im Betrag | (x-3)/(2x+4) | < 1

Question

ich komme irgendwie gerade nicht auf das richtige Ergebnis. Ich möchte alle reellen Lösungen finden.

$$\left| \frac { x-3 }{ 2x+4 }  \right| <1$$

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Was hast du denn an Lösungen raus, bzw. wo hakt es denn ?

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Hoffen wir mal, dass es nur "hakt" und nicht "hackt"! :-)

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Manchmal hackt es auch, das stimmt. ;)

Mir hat gerade die Rechenregel gefehlt, dass ich den großen Betragsstrich auch in Betragsstriche für Zähler und Nenner umwandeln kann. Werde es nochmal versuchen.

Answer 1

Hallo

für x<-2 und für x>3 ist der Bruch positiv, also kannst du den Betrag weglassen dazwischen , die  < Zeichen umdrehen

anderer Weg: multipliziere mit dem Betrag des Nenners, dann ist es eine Ungleichung ohne Bruch, die du vielleicht kannst.

Gruß lul

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Ich versuche mal die zweite Variante. Ich kann ja den Betrag auf die andere Seite ohne Fallunterscheidung bringen, da immer positiv, vielen Dank.

Answer 2

Für x≠-2 ist
|x-3|<|2x+4|
Quadriere
0<(2x+4)²-(x-3)²
Wende die dritte binomische Formel rückwärts an
0<(x+7)·(3x+1)
Teile durch 3
0<(x+7)·(x+1/3)
Lösung: x<-7 und x>-1/3

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Ich denke es muss heißen:

Lösung: x<-7 oder x>-1/3

Answer 3

abs ( ( x -3 ) / ( 2x + 4 ) ) < 1
beide Seiten sind positiv.
Quadrieren stimmt dann auch
( ( x -3 ) / ( 2x + 4 ) ) ^2 < 1^2
( x -3 ) ^2 / ( 2x + 4 ) ^2 < 1
( x -3 ) ^2 < ( 2x + 4 ) ^2
x^2 - 6x + 9 < 4x^2 + 16x + 16
0 < 3x^2 + 22x + 7
3x^2 + 22x + 7 > 0
x^2 + 22/3x + 7/3 > 0
x^2 + 22/3x + (11/3)^2 > - 7/3 + 121/9
( x + 11/3 )^2 > 100/9
x + 11/3 > √ ( 100/9)
x > -1/3
und
x < - 21/3
x < -7

Answer 4

Nach Umstellen zu

$$\left| x-3  \right| < 2\cdot\left| x+2  \right|$$ist auch eine geometrische Deutung naheliegend: Die Ungleichung beschreibt alle Zahlen des Zahlenstrahls, die von der \(3\) weniger als doppelt soweit entfernt liegen wie von der \(-2\).

Das gilt für alle Zahlen mit
x < 3-2*(3-(-2)) = -7 (äußere Teilung)
oder
3-2*(3-(-2))/(1+2) = -1/3 < x (innere Teilung).

Unsere Ungleichung ist daher äqivalent zu:
$$ x<-7 \quad\text{oder}\quad -\dfrac 13 < x $$