Parametrisierung der Oberfläche eines Körpers

Question

liebe Community,

ich habe eine Frage zur Parametrisierung eines Körpers für die Berechnung des Flussintegrals.

folgende Aufgabe

Nun hab ich mir überlegt , dass z zwischen 0 und 1 liegt , da x^2 + y^2 maximal pi/2 sein kann . eingesetzt in die Obere Grenze von z also cos(x^2 +y^2) würde ja bei x^2+y^2= 0 eins rauskommen,

sodass z zwischen 0 und 1 liegt ?

und phi zwischen 0 und pi/2  ?

 ist das richtig so ?

Comments

dass z zwischen 0 und 1 liegt

Das ergibt sich alleine schon aus 0 < z < cos(...). Dabei ist es egal, wovon der Kosinus berechnet wird.

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@S3leyman: Mach doch erst mal Deine Aufgabe von gestern fertig, bevor Du weiter rumdilettierst. Da sind noch Fragen an Dich offen.

https://www.mathelounge.de/561840/grenzen-bestimmen-mehrdimensionale-integrale

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Habe ich bereits:) @ fakename:)

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Dann wende doch mal Deine neuen Fertigkeiten auf das K der Aufgabe an. Du sollst das Flussintegral naemlich mit dem Satz von Gauss berechnen, nicht direkt. Da brauchst Du dann keine Parametrisierung der Oberflaeche, sondern eine Darstellung von K als Normalbereich.

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@fakename

achso also wäre es für z:

0<z<cos(r^2)

jetzt müsste ich dann B bestimmen aber wie genau mache ich das aus

x^2+y^2<pi/2

das ist ja ein Kreis mit radius sqrt(pi/2)

was wäre nun dann die obere bzw. untere Grenze

0<x<sqrt(pi/2)

und 0<y<sqrt(pi/2-x^2) ??

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Das ist ja nur ein Viertelkreis. Zur Uebung koenntest Du das mal richtig aufschreiben.

Zum Integrieren ueber Kreise sind allerdings Polarkoordinaten geschickter als kartesische. Ausserdem kannst Du die Integrale in kartesischen Koordinaten nicht loesen, weil Du keine Stammfunktion findest.

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na gut dann würde ich sagen

0<z<cos(r^2) dz

0<r<sqrt(pi/2) dr

0<phi<2pi dphi

so richtig ?

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Wenn Du noch die Differentiale aus den Formeln streichst (was hat Dich dazu gebracht, da welche hinzuschreiben?), kann man es lassen.

Ich dachte aber, Du koenntest auch einen vollen Kreis mal zur Uebung in kartesischen Koordinaten als Normalbereich darstellen.

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ok habe es gezeichnet ,dann wäre es für den Normalbereich bzgl x

-sqrt(pi/2)<y<sqrt(pi/2)

aber wie würde es bei x aussehen ? x erreicht den größten und den kleinsten ( negativer wert) bei y=0 ??

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$$B_r(0)=\left\{(x,y):-r<x<r\wedge -\sqrt{r^2-x^2}<y<\sqrt{r^2-x^2}\right\}$$

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Super, vielen dank, jetzt habe ich es besser verstanden, habe ich mir fast gedacht.:)

Answer 1

  Gehen wir mal aus von

     e_r  =  [  cos  (  ß  )  |  sin  (  ß  )  ]        (  1a  )

     Dann ist ganz offensichtlich

        [  -  sin  (  ß  )  |  cos  (  ß  )  ]  =  e_ß      (  1b  )

     Probe; das Skalarprodukt verschwindet

     <  e_r  |  e_ß  >  =  0      (  2a  )

     und die Händigkeit ( Orientierung  ) stimmt auch

    det  (  e_r  ;  e_ß  )  =  e_r  X  e_ß  =  1      (  2b  )

    Dem gemäß ist dir ein Feld   v  gegeben in Zylinderkoordinaten

     v  :=  -  r  e_ß  +  z  e_z     (  3a  )

    Wie man die Divergenz in Zylinderkoordinaten rechnet, steht in Wiki ( und übrigens auch im Bronstein )

   div  (  v  )  =  1 / r  ( d/dß )  v_ß  +  ( d/dz )  v_z  =    (  3b  )

                    =  ( d/dz )  v_z  =  1      (  3c  )

    Na wunderbar; da muss ich also nur noch das Volumen deines Körpers bestimmen .

             sqr ( Pi/2 )        cos ( r ² )          2 Pi

   V  =       $                       $                   $        r  dr dz dß     =     (  4a  )

                 0                      0                   0

                      sqr ( Pi/2 )           cos ( r ² ) 

        =  2  Pi      $                         $               r  dr dz     =        (  4b  )

                         0                        0  

                             sqr ( Pi/2 )

       =    2  Pi             $                   r  cos  (  r  ²  )  dr       (  4c  )  

                                 0

      Kettenregel beachten; eine Aufleitung von    r cos ( r ² ) ist

       1/2  sin  (  r  ²  )  ===>  V  =  2  Pi  *  1/2  sin  ( Pi/2 )  =  Pi      (  5  )