Berechnen Sie den Fluss von \vec{F} durch die Oberfläche eines Kugelausschnitts mit r ∈ [0,a], ϑ ∈ [0,π/2], φ ∈ [0,π/2]

Question

Aufgabe:

Gegeben sei das Vektorfeld \( \vec{F} \)(\( \vec{r} \) ) = zê_x + yzê_y + yê_z

Berechnen Sie den Fluss von \( \vec{F} \) durch die Oberfläche eines Kugelausschnitts mit r ∈ [0,a], ϑ ∈ [0,π/2], φ ∈ [0,π/2]

Problem/Ansatz:

Bin etwas mit der Berechnung durch ein Kugelausschnitt überfordert. Ist damit einfach nur eine halbe Kugel gemeint?

Answer 1

Aloha :)

Bei dem Kugelausschnitt handelt es sich um eine Achtelkugel im ersten Oktanden des Koordinatensystems. Wegen der Form des Vektorfeldes \(\vec F\) bietet es sich hier an, den Fluss mit Hilfe des Gaußschen Satzes zu berechnen:$$\Phi=\iint\limits_{\partial V}\vec F\,d\vec f=\iiint\limits_V\operatorname{div}\vec F\,dV=\iiint\limits_V\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}z\\yz\\y\end{pmatrix}dV=\iiint\limits_Vz\,dV$$Wir gehen zu Kugelkoordinaten über:$$\Phi=\int\limits_{r=0}^a\int\limits_{\varphi=0}^{\pi/2}\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi/2}\underbrace{r\cos\vartheta}_{=z}\cdot \underbrace{r^2\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta}_{=dV}=\int\limits_{r=0}^a r^3dr\int\limits_{\varphi=0}^{\pi/2}d\varphi\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi/2}\sin\vartheta\,\cos\vartheta\,d\vartheta$$$$\phantom{\Phi}=\left[\frac{r^4}{4}\right]_0^a\cdot\left[\varphi\right]_0^{\pi/2}\cdot\left[\frac{1}{2}\sin^2\varphi\right]_0^{\pi/2}=\frac{a^4}{4}\cdot\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\pi}{16}a^4$$