Fluss eines Vektorfeldes durch eine Oberfläche

Question

ich verzweifle an einer Aufgabe und hoffe das mir jemand weiterhelfen kann.

Gegeben ist ein Vektorfeld $$F(x,y,z)=(xz,yz,z^2)$$ und die Oberfläche eines Zylinderausschnittes

$$A=\{(x,y,z) : x^2 + y^2 \leq a^2 \land 0 \leq z \leq b \}$$ wobei a,b konstanten sind.

Jetzt soll ich den Fluss des Vektorfeldes durch die Oberfläche bestimmen.

Die Defintion lautet ja

$$\phi _F = \int_{\partial A}^{}   \vec{F} \cdot d\vec{a} $$

Wie werte ich den so ein Integral nun konkrekt aus? In der Übung konnten wir das Skalarprodukt immer auflösen und F vor das Integral ziehen und dann einfach integrieren. Hier klappt das ganze nun nicht mehr.

Könnte mir bitte jemand einmal vorrechnen und erklären wie ein solches Integral denn nun konkrekt ausrechne

Answer 1

$$ \text{Hier bietet sich die Lösung mithilfe des Satz von Gauß an:}\\\phi _F = \int_{\partial V}^{}   \vec{F} \cdot d\vec{A}= \int_{V}   \vec\nabla \vec{F} \cdot dV\\\vec\nabla \vec{F}=z+z+2z=4z\\\int_{V}   \vec\nabla \vec{F} \cdot dV=\int_{V}   4z \cdot dV\\\text{Die Grenzen kannst du aus der Menge ablesen (in Zylinderkoordinaten),}\\dV=rdrd\phi dz\\\int_{V}   4z \cdot dV=\int_{0}^{a}rdr\int_{0}^{2\pi}d\phi\int_{0}^{b}4zdz\\=\frac { a^2 }{ 2 }2\pi2b^2=2\pi a^2b^2\\ $$

Wenn du das Oberflächenintegral auswerten willst, musst du beachten, dass der Zylinder aus Grund- bzw. Deckfläche und Mantel besteht.\\ Für Grund und Deckfläche ist das  vektorielle Flächenelement parallel zur z-Achse, beim Mantel steht das Flächenelement parallel zum radialen Einheitsvektor. Dann musst du 3 verschiedene Flächenintegrale berechnen, deshalb bietet es sich an den Satz von Gauß zu verwenden.

 

Comments

Vielen Dank für deine ausführliche Antwort. Du konntest für diesen Fall (geschlossene Oberfläche) einen mächtigen Satz verwenden.

Weißt wie man das Oberflächenintegral auswertet ohne den Satz von Gauß anzuwenden?

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Das habe ich  oben schon beschrieben. Zerlege den Zylinder in 3 Teilflächen (Grund-,Deckfläche, Mantel) und berechne die 3 Teilflüsse durch jede Fläche einzeln.   

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Für den Mantel:

$$  \vec x=(acos(\phi),asin(\phi),z),\phi \in [0,2\pi],z\in[0,b]\\d\vec A=ad\phi dz { \vec e }_{ r }=ad\phi dz(cos(\phi),sin(\phi),0)\\\vec F=(xz,yz,z^2)=(acos(\phi)z,asin(\phi)z,z^2)\\\int_{Mantel}\vec F d\vec A=\int_{Mantel}(acos(\phi)z,asin(\phi)z,z^2)*(cos(\phi),sin(\phi),0)ad\phi dz\\=\int_{Mantel}[a^2cos^2(\phi)z+a^2 sin^2(\phi)z]d\phi dz\\=a^2\int_{0}^{2\pi}d\phi\int_{0}^{b}zdz=a^2\pi b^2\\\text{(Kann sein, dass ich hier einen Faktor 2 vertrieft habe.)}$$

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Ok, der Fluss durch den Mantel stimmt, der Fluss durch die Deckfläche ist ebenfalls a^2πb^2. Der Fluss durch die Grundfläche ist 0.

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Ah, ich hätte doch eine Frage. Wie kann ich das Ergebnis $$2\pi a^2 b^2$$ interpretieren. Da steht jetzt ja irgendein Zahlenwert und je höher dieser ist desto mehr Vektoren fließen aus dem Zylinder?

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Ja, so kann man es sich vorstellen. Das Ergebnis ist auch immer positiv und steigt, je größer der Zylinder gewählt wird.