Eine Fläche - egal ob im zweidimensionalen, dreidimensionalen oder n-dimensionalen Raum - hat immer nur zwei Parameter. Eine Kurve hat nur einen Parameter.
z.B. Fläche im \(ℝ^{2}\) \(F:\) \(F(u,v)=\begin{pmatrix} x_{1}(u,v)\\x_{2}(u,v) \end{pmatrix} \)
Fläche im \(ℝ^{3}\) \(F:\) \(F(u,v)=\begin{pmatrix} x_{1}(u,v)\\x_{2}(u,v)\\x_{3}(u,v) \end{pmatrix} \)
Eine Fläche im \(ℝ^{4}\) \(F:\) \(F(u,v)=\begin{pmatrix} x_{1}(u,v)\\x_{2}(u,v)\\x_{3}(u,v)\\ x_{4}(u,v) \end{pmatrix} \)
Also n Komponenten im n-dimensionalen Raum, abhängig von u und v (oder was auch immer für Variablen du als Parameter verwenden möchtest).
Die Parametrisierung hier - wie schon in der ersten Antwort geschrieben - ist:
\(F\): \(F(u,v)=\begin{pmatrix} u\\v\\u·e^{v}\end{pmatrix}\) mit \(u ∈ [0,1]\), \(v ∈ [0,1]\). Das ist hier recht einfach, weil deine Fläche schon explizit nach z gegeben ist.
Um den Fluss zu berechnen musst du folgendes Integral lösen:
\(Φ=\int\int_{F}\vec{w}d\vec{o}=\int\int_{F}\vec{w}·\vec{n}dF\)
Den Normalenvektor \(\vec{n}\) berechnest du mit dem Kreuzprodukt der partiellen Ableitungen nach u und v Deiner Fläche F:
\(\vec{n}=F_{u}×F_{v}=\begin{pmatrix} 1\\0\\e^{v}\end{pmatrix}×\begin{pmatrix} 0\\1\\ue^{v}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -e^{v}\\-ue^{v}\\1\end{pmatrix}\)
Dies ist der geforderte Normalenvektor mit positiver z-Richtung. Es existieren immer 2 Normalenvektoren. Normalerweise muss man den Normalenvektor wählen, der aus dem Volumen heraus zeigt.
Nun musst Du die Parametrisierung in dein Vektorfeld einsetzen, d.h. Ersetze jedes x durch u, jedes y durch v und jedes z durch \(ue^{v}\). Dann erhältst du folgendes Integral:
\(Φ=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \begin{pmatrix} uv\\4u^{2}\\uve^{v} \end{pmatrix}· \begin{pmatrix} -e^{v}\\-ue^{v}\\1\end{pmatrix} du dv=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}-uve^{v}-4u^{3}e^{v}+uve^{v} du dv\)
Mit dem Satz von Fubini für lineares Integrieren kannst Du beide Integrale gleichzeitig lösen:
\(Φ=-[u^{4}]_{0}^{1}[e^{v}]_{0}^{1}=-(1e-1)=1-e\)
In Teilaufgabe b) gehst Du genauso vor.Es handelt sich um eine Kugel mit Mittelpunkt im Koordinatenursprung und Radius 2.
Parametrisierung in Kugelkoordinaten \(F_{2}: F_{2}(ψ,ϑ)= \begin{pmatrix} 2cos(ψ)sin(ϑ)\\2sin(ψ)sin(ϑ)\\2cos(ϑ)\end{pmatrix}\) mit \(ψ∈[0,\frac{π}{2}]\), \(ϑ∈[0,\frac{π}{2}]\)
Eine Vollkugel hätte folgende Intervalle: \(ψ∈[0,2π]\), \(ϑ∈[0,π]\)
Bestimme nun den Normalenvektor, etc. ist das gleiche wie in a)
