Bewegungsgleichungen mit eingebauten Rotationsmatrizen lösen

Question

Leider finde ich zu meinem speziellen Problem kein vergleichbares Thema. Und zwar ist meine Frage: Wie komme ich von

$$ \frac{dy}{dt} = \frac{dR}{dt} * R^{-1} * y $$ , wobei $$ y ∈ ℝ^2 $$ und

 $$ R = \begin{pmatrix} cos(θt) & -sin(θt) \\ sin(θt) & cos(θt) \end{pmatrix} $$

ist, auf die Lösung $$ y = y(0) * R(t) $$

Ich krieg das einfach nicht auf die Reihe die Lösung ist mir super klar ich versteh sie auch aber der Weg ist mir schleierhaft (woher kommt diese Inverse und wie krieg ich die weg) hab es von beiden Seiten her versucht aber klappt einfach nicht, brauche Hilfe.

Grüsse aus der Schweiz

Answer 1

Deine "Loesung" \(y=y(0)R(t)\) ist Kaese. Die kann man nicht mal zur Probe einsetzen, weil die Produkte rechts nicht gebildet werden koennen. Richtig ist \(y=R(t)y(0)\). Bestaetige das durch Ausfuehrung der Probe.

An dieser Stelle kann man den Lösungsprozess faken. Sag, Du hast den Ansatz \(y=R(t)\eta\) gemacht und durch Einsetzen \(\eta=y(0)\) gefunden.

Man kann auch ehrlicher sein, \(R'R^{-1}\) ausrechnen und dann das lineare System loesen. Auf diese Idee sollte *jeder* kommen koennen.

Schliesslich kann man auch noch die allgemeine Lösungstheorie ins Spiel bringen. Jedes lineare System \(y'=A(t)y\) hat eine Fundamentalsystem \(Y(t)\) mit \(Y'=AY\) und \(Y(0)=E\). Wie konstruiere ich umgekehrt ein lineares System \(y'=A(t)y\), das ein vorgelegtes \(Y\) mit \(Y(0)=E\) als Fundamentalsystem hat? Antwort: Ich setze \(A=Y'Y^{-1}\).

Comments

Du hast absolut recht die Lösung war Müll, falsch abgeschrieben - mein Fehler. War gerade dabei $$ R'R^{-1} $$ auszuprobieren, habe jedoch wegen einem blöden Fehler die Flinte vorschnell ins Korn geworfen.

Hab mich wohl von den Matrizen in der Gleichung verwirren/abschrecken lassen und die Hoffnung verloren, dank deinem Hinweis aber nun doch hingekriegt - Herzlichen Dank.

Manchmal brauchts bei mir länger um auf die Idee zu kommen die *jeder* haben sollte :-p

Grüsse