Termumformung beim Quotientenkriterium

Question

folgendes Problem, ich soll testen ob die Reihe:
$$\frac{n²}{2^n}$$ konvergiert,auf die Idee dass man hier das Quotientenkriterium anwenden soll bin ich selber gekommen. Allerdings hatte ich Probleme mit dem Umformen und kann einen Schritt in der Lösung nicht ganz nachvollziehen.

$$\frac{1}{2} * (\frac{n+1}{n})²$$ --> $$\frac{1}{2} * (1+ \frac{1}{n})²$$

Wie verschwindet das n im Zähler plötzlich und welche Rechenoperation wurde hier angewandt?

MfG

Julian

Answer 1

ich hab das andere mal weggelassen.

Allgemein gilt:

(A+B)/C= A/C+B/C

=n/n+1/n

=1 +1/n

Answer 2

hier wurde das Distributivgesetz

a*(b+c)=ab+ac

angewendet:

(n+1)/n =(n+1)*1/n =n*1/n+ 1*1/n

=1+1/n

Answer 3

  Wie wäre es mit dem Integralkriterium?    Die Funktion

       x  ²  *  2  ^  (  -  x  )      (  1  )

    ist von dem allgemeinen Typ

     x  ²  exp  (  -  k  x  )        (  2  )

   Das uneigentliche  Integral existiert .

Answer 4

du kannst es auch mit dem Wurzelkriterium machen.

$$ \limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{\Bigg|\frac{n^2}{2^n}\Bigg|}=\limsup_{n \to \infty}\frac{\sqrt[n]{n^2}}{2}=\frac{1}{2}<0. $$

Damit ist diese Reihe sogar absolut konvergent.

Comments

Ah danke, hatte das sogar versucht. Allerdings wusste ich nicht, dass die nte Wurzel von n² =1 ist

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Also man muss natürlich diesen Grenzwert hier kennen:

$$ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{b}=1, \quad \forall b>0$$

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Wenn du ihn vorher nicht hattest, müsste man diesen Grenzwert strenggenommen auch beweisen.