Termumformung beim Quotientenkriterium

Question

Aufgabe:

die Konvergenz von $$\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{k!}{k^{k}}$$

Problem/Ansatz:

Mein erster Gedanke wäre hier, das Quotientenkriterium anzuwenden, wegen der Fakultät im Zähler, das sehe dann wie folgt aus:

$$\frac{(k+1)!}{(k+1)^{k+1}} * \frac{k^k}{k!}$$

Die Fakultät kürzt sich, so dass im Zähler nur noch k+1 steht.

$$\frac{(k+1)*k^{k}}{(k+1)^{k+1}}$$

Und ab hier weiß ich nicht mehr weiter. Den Limes zu benutzten bringt mir hier noch wenig meine ich, es müssten wohl noch ein paar Umformschritte folgen, aber wie weiß ich leider nicht.

Mfg

Answer 1

Im Nenner deines dritten Bruches steht (k+1)^k+1=(k+1)^k·(k+1).Nach Kürzen mit (k+1) wird dein dritter Bruch zu k^k/(k+1)^k

Answer 2

Es gibt ein Potenzgesetz für den Nenner:

a^m *a^n=a^(m+n)

Answer 3

(k+1) kürzt sich raus, da (k+1)^(k+1) = (k+1)^k*(k+1)

Answer 4

$$\frac{(k+1)*k^{k}}{(k+1)^{k+1}}$$

k+1 kürzen gibt

$$\frac{k^{k}}{(k+1)^{k}}$$

$$=(\frac{k}{k+1})^k$$

$$=(1-\frac{1}{k+1})^k$$

und da ist der Grenzwert wohl  e^(-1).