Stimmen die Mengengleichungen? (Sind meine Beweise so korrekt?)

Question

$$Aufgabe:\quad \\ 1)\quad Gilt\quad (A\setminus B)\cap C=(A\cap C)\setminus B\quad ?\\ 2)\quad Gilt\quad A\setminus B=A\cap (A\setminus B)?\\ \\ Meine\quad Lösung:\\ 1)\\ "\Rightarrow "\quad Sei\quad x\epsilon (A\setminus B)\cap C.\\ Da\quad x\epsilon A,x\epsilon C\quad und\quad x\notin B\quad gilt,\quad gilt\quad nach\quad der\quad Definition\quad der\quad Schnittmege\quad x\epsilon A\cap C\quad und\quad x\epsilon (A\cap C)\setminus B\quad nach\quad der\\ Definition\quad der\quad Differenzmenge.\quad \\ \\ "\Leftarrow "\quad Sei\quad x\epsilon (A\cap C)\setminus B.\\ Da\quad x\epsilon A,x\epsilon C\quad und\quad x\notin B\quad gilt,\quad gilt\quad nach\quad der\quad Definition\quad der\quad Differenzmenge\quad x\epsilon A\setminus B\quad und\quad nach\quad der\\ Definition\quad der\quad Schnittmege\quad x\epsilon (A\setminus B)\cap C.\\ q.e.d\\ \\ 2)\quad \\ "\Rightarrow "\quad Sei\quad x\epsilon A\setminus B.\\ Da\quad x\epsilon A\quad und\quad x\notin B\quad gilt,\quad gilt\quad nach\quad der\quad Definition\quad der\quad Differenzmenge\quad x\epsilon A\setminus B\quad und\quad nach\quad der\quad Definition\\ der\quad Schnittmenge\quad x\epsilon A\cap (A\setminus B).\\ \\ "\Leftarrow "\quad Sei\quad x\epsilon A\cap (A\setminus B).\\ Da\quad x\epsilon A\quad und\quad x\notin B\quad gilt,\quad gilt\quad nach\quad der\quad Definition\quad der\quad Differenzmenge\quad x\epsilon A\setminus B\\ q.e.d\\ \\$$

Könnte man dies so schreiben?

Comments

Habe gemerkt, dass s wohl eher falsch ist, denn man muss ja auch die erste Menge immer Beweisen:

Also so zum Beispiel?
$$\\ 1)\\ "\Rightarrow "\quad Sei\quad x\epsilon (A\setminus B)\cap C.\quad Da\quad x\epsilon A,x\epsilon C\quad und\quad x\notin B\quad und\quad somit\quad durch\quad die\quad Definition\quad der\quad Differenzmenge\\ x\epsilon (A\setminus B)\quad und\quad nach\quad der\quad Definitio\quad der\quad Schnittmenge\quad x\epsilon (A\setminus B)\cap C\quad gilt. \quad \\ Da\quad x\epsilon A,x\epsilon C\quad und\quad x\notin B\quad gilt,\quad gilt\quad nach\quad der\quad Definition\quad der\quad Schnittmege\quad x\epsilon A\cap C\quad und\quad x\epsilon (A\cap C)\setminus B\quad nach\quad der\\ Definition\quad der\quad Differenzmenge.\quad \\ \\ "\Leftarrow "\quad Sei\quad x\epsilon (A\cap C)\setminus B.\\ Da\quad x\epsilon A,x\epsilon C\quad und\quad x\notin B\quad gilt,\quad gilt\quad nach\quad der\quad Definition\quad der\quad Differenzmenge\quad x\epsilon A\setminus B\quad und\quad nach\quad der\\ Definition\quad der\quad Schnittmege\quad x\epsilon (A\setminus B)\cap C.\\ q.e.d\\ \\ \\$$

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Andere Idee, könnte man es auch so hier zeigen?

zu 1)

$$(A\setminus B)∩C=(A∩C)\setminus B\quad \\ \\ (A\setminus B)∩C=\left\{ x|x\epsilon A\setminus B\quad und\quad x\epsilon C \right\} \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad =\left\{ x|x\epsilon A\quad und\quad x\notin B\quad und\quad x\epsilon C \right\} \\ \qquad \qquad \quad =\left\{ x|x\epsilon A∩C\quad und\quad x\notin B \right\} \\ \qquad \qquad \quad =(A∩C)\setminus B\quad$$

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Erst mal zu deiner Überschrift. "Sind die Mengengleichungen äquivalent?"

Was meinst du damit? Ich sehe zwei Mengengleichungen. 1) und 2) .

Ob diese beiden Gleichungen äquivalent sind, möchtest du herausfinden? Bist du sicher, dass das deine Aufgabe ist.

Deine Rechnungen scheinen nicht zu dieser Fragestellung zu passen.

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Ja, stimmt:)

Es sollte eher heißen stimmen die Gleichungen.

Kann ich das irgendwo ändern?

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Habe die Überschrift geändert. Hoffe, das passt so.

Answer 1

Hallo

 Das sieht alles gut und richtig aus, allerdings würde ich deutlicher zwischen linker und rechter Seite unterscheiden: also x ∈ linker Seite ....., x in rechter Seite....

 linke und rechte Menge enthalten genau die gleichen Elemente, also gilt die Gleichheit.

 aber die Teile dazu hast du ja.

Gruß lul

Comments

Alles klar, also kann man beide Varianten benutzen?