Natürlich; zu jedem y findest du ein eindeutiges x , wenn ich das auflöse . Das brauchst du auf jeden Fall; ich nenne es den " Funktionskeim "
x = ( 2 - y ) exp ( - y ) ( 1 )
Aber Funktion ( 1 ) ist nicht umkehrbar, wie du durch elementare Kurvendiskussion ersiehst .
( dx/dy ) = 0 = ( y - 2 - 1 ) exp ( - y ) = ( 2a )
= ( y - 3 ) exp ( - y ) ( 2b )
Das ergibt dann
( y | x )_min = ( 3 | - 1 / e ³ ) ( 2c )
Aus dem Minimum so wie der Asymptotik fogt eindeutige Umkehrbarkeit für x > = 0 ; ansonsten ist sie zweideutig, also nur lokal definiert .===> Lambertsche W-Funktion . ( 2c ) ist also unheimlich wichtig für den Keim der Funktion y = f ( x ) ; so lange x > ( - 1 / e ³ ) , wissen wir, dass er existiert . Denn das IFT erlaubt dir keine Luftschlösser zu bauen; du musst eine konkrete Lösung angeben .
Hinreichende Bedingung; die Funktion y = f ( x ) ist differenzierbar auf einer ( offenen ) Umgebung um ( x0 | y0 ) , falls f_y > 0 . Rechnen wir es nach
f_y ( x ; y ) = 1 + x exp ( y ) ( 3 )
Und was das ergibt, lässt sich in ( 1 ) wunderbar nachrechnen: Alle y außer y0 = 3 . Wir hatten ja ausdrücklich gesagt: An Zweideutigkeiten schert sich das IFT nicht; so viel ist jeden Falls sicher: Zu jedem y_Wert gibt es ein y = f ( x ) . Bei y0 = 3 hast du zunächst keine Aussage; wir sagten schon. Die Bedingung ist nur hinreichend, nicht notwendig .
Aber in y0 = 3 hast du doch diese horizontale Tangente . Da passieren also gleich zwei schlimme Dinge; erstens gibt es wegen dem Minimum auch lokal keine Umkehrfunktion . Und zweitens würde die Kurventangente ja vertikal verlaufen; y ' = ( °° )
Und jetzt zu deiner Taylorreihe; zunächst mal ist f ( 0 ) = 2 . Jetzt die erste Ableitung . Na lernste endlich mal wat Vernünftijet. Neemich ===> implizites Differenzieren ( ID ) Aber ich predige ja tauben Ohren ...
( Für die ganz Schlauen; dazu benötigst du die Produkt_so wie die Kettenregel. )
y ' + exp ( y ) + x y ' exp ( y ) = 0 ( 4a )
Doch die Tecjnik des ID ist eminent wichtig; ich will dich dahin bringen, dass du Aufgaben aus eigenem Antrieb auf diese Weise bewältigst . Jetzt Einsetzen von x0 = 0 , wobei wir nicht vergessen dürfen f ( 0 ) = 2
f ' ( 0 ) + e ² = 0 ===> f ' ( 0 ) = - e ² ( 4b )
Den bescheidenen Rest solltest du jetzt alleine können .
