Taylor-Reihe, Reihendarstellung

Question

eine Frage zu der folgenden Aufgabe:

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

$$f^1(x)=-\frac{1}{2x^\frac{3}{2}}$$

$$f^2(x)=\frac{3}{4x^\frac{5}{2}}$$

$$f^3(x)=-\frac{15}{8x^\frac{7}{2}}$$

$$f^4(x)=\frac{105}{16x^\frac{9}{2}}$$

$$=1-\frac{1}{2}(x-1)+\frac{3}{8}(x-1)^2-\frac{5}{16}(x-1)^3+\frac{35}{128}(x-1)^4$$

Wie lautet die Reihendarstellung ?

Ich bin aktuell bei $$(-1)^n\frac{\frac{?}{2^n}}{n!}(x-1)^n$$

Answer 1

Ich würde mal von den Ableitungen ausgehen

z.B. die 4-te    hat den Nenner  16*x^{9/2} =  2^4 * x^{4+0,5}

Das passt auch bei der 3. und der 2. also könnte man wohl es wohl mit

Induktion auf alle n übertragen.

Der Zähler 105 = 1*3*5*7 =  7! / ( 2*3!)  und bei der 3. Ableitung

                  15 = 1*2*3 = 3! / ( 2*2!)

allgemein also wohl  (2n-1)! / ( 2* (n-1)! ) .

also f^n(x) =    (-1)^n *  (  (2n-1)! / ( 2* (n-1)! ) ) /  (  2^n * x^{n+0,5} )

Answer 2

Hallo

den allgemeinen Term zu finden ist hier wohl nicht einfach, es sei denn rekursiv. Aber deine Aufgabe ist ja auch nur, was du schon richtig hast, nämlich das TP 4 ten Grades.

Gruß lul

Answer 3

1/√x = x^{-1/2} = (1+(x-1))^{-1/2}

Verwende nun die binomische Reihe

https://de.wikipedia.org/wiki/Binomische_Reihe

Oder bei Wolfram spicken:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2Fsqrt(x)+series+at+x%3D1