Ermittle die Nullstellen von f(x) = x^4-17x^2+16

Question

f(x) = x^4-17x^2+16

Wie kann man die Nullstellen ermittlen?

Answer 1

Substituiere: z=x^2

z^2 -17z +16= 0 ->pq-Formel

z_1.2= 17/2 ± √(289/4 -64/4)

z_1.2= 17/2 ± 15/2

z₁= 16

z₂=1

->Resubstitution:

16 =x^2 ---------->x_1.2= ±4

1 =x^2  ----------->x_3.4= ±1

Answer 2

Hallo. Es ist

f(x) =

x^4-17x^2 +16 =

(x^2-1)*(x^2-16) =

(x+1)*(x-1)*(x+4)*(x-4)

Die Nullstellen können nun einfach abgelesen werden.

Answer 3

Hallo nanee,

f(x)=x⁴-17x²+16   ,  Wie kann man die Nullstellen ermittlen ?

Setze z = x²

f(z) = z² - 17z + 16

\(\text{pq-Formel: }z^2+pz+q=0\text{ }\text{ }\text{mit  p = -17  ;  q = 16}\)
\( z_{1,2} = -\frac { p }{ 2 } \pm \sqrt{ \left(\frac { p }{ 2 }\right)^2-q}= \frac { 17 }{ 2 } \pm \sqrt{ (\frac { 289 }{ 4 }-16}=\frac { 17 }{ 2 }±\frac { 15 }{ 2 }\)
→  \(\color{green}{z_1=16  \text{ }; \text{ }\text{ } z_2 =1 }\)

x² = 16  →  x_1,2 = ±4    ,   x² = 1  →  x_3,4 = ±1  

Gruß Wolfgang

Answer 4

   Vielleicht kriegst du eine Ahnung von der Vereinfachung, wenn du meine Erfindung, die " Wurzelwurzeln " ( W W )   mit dieser Vorlage vergleichst .  Die biquadratische Gleichung  (  BQG  )   in Normalform

      x  ^  4  -  p  x  ²  +  q  =  0       (  1a  )

      p  =  17  ;  q  =  16     (  1b  )

    Ich habe eine Umfang reiche Kategorienlehre für  BQG  entwickelt; bereits jetzt mache ich dich auf eine Konsequenz  aus der cartesischen Vorzeichenregel aufmerksam:

   Notwendige Bedingung für rein reelle Wurzelpärchen wie hier:  p  >  0  ;  q  >  0

   Auch ich habe deine z_Substitution

       z  ²  -  p  z  +  q  =  0       (  2a  )

     Doch ich missbrauche sie zu völlig anderen Zwecken .  Vieta das geschmähte Stiefkind

        p  =  z1  +  z2        (  2b  )

   Für mich ist Vieta der einzige Grund, dass ich mich überhaupt für dieses  z intressiere.  Anschließend nehmen wir die Substitution  nämlich wieder zurück:

     x1  ²  +  x2  ²  =  p  =  17      (  2c  )

    Nächster  Schritt: vieta q

     z1  z2  =  q  =  16      (  3a  )

     q  =:  u  ²       (  3b  )

     x1  x2  =  u  =  4     (  3c  )

   Was ich hier mache, ist logisch .  Wir haben eine Gleichung  4 . Grades; demnach musst du zwei Mal die  Wurzel ziehen .  Beachte bitte, dass die traditionelle Mitternachtsformel ( MF )   fröhlich drauf los quadriert und sich zu der Art vermessenen Zahlen versteigt wie 289  .  In der selben Zeit habe ich meine erste Wurzel gezogen; die Zahlen bleiben überschaubar ( Und einen Bruch habe ich auch nicht. )

   Du magst ja mal darüber nachdenken, worin der eigentliche Vorteil dieses Verfahrens  besteht .

   Und - oh Wunder -   es ergibt sich ein Handshake zwischen  Vieta und der  MF  .   ( 3c ) ist genau die quadratische Ergänzung von ( 2c ) - siehst du das?

    (  x2  +  x1  )  ²  =  p  +  2  u  =  17  +  2  *  4  =  25    (  4a  )

       x2  +  x1  =  5        (  4b  )

  (  x2  -  x1  )  ²  =  p  -  2  u  =  9        (  4c  )

      x2  -  x1  =  3         (  4d  )

    Zu lösen bleibt das  LGS   ( 4bd )   -  x1  =  1  ;  x2  =  4