Newtonverfahren und Taylorpolynom

Question

Ermitteln Sie √3 Näherungsweise uber die Funktion f(x) = √x, indem sie in das zugeh¨orige Taylorpolynom T₁(x; 4) ersten Grades bei Entwicklung an der Stelle x₀ = 4 den Wert x = 3 einsetzen! Geben Sie auch das zugeh¨orige Fehlerglied R₂ (x; 4) an und schätzen Sie damit den Fehler Ihrer Näherung ab.

Answer 1

was hat das mit dem Newtonverfahren bei dir zu tun???

Dein Ansatz für das Taylorpolynom ist

$$ \sqrt{x}\approx T_1f(x;4)= \sum_{k=0}^1 \frac{f^{(k)}(4)}{k!}\cdot (x-4)^k $$

Du musst also f hier einmal ableiten.

Restgliedabschätzung. Für die Mehtode von Lagrange braucht man auch die zweite Ableitung.

Dein x befindet sich im Intervall [3,4] und dein zugehöriges ξ zwischen x und dem Entwicklungspunkt x₀ = 4.Der Ansatz ist hier also:

$$ |R_1(x)|=\Bigg|\frac{f^{(2)}(\xi)}{2!}\cdot (x-4)^2 \Bigg| $$

Jetzt musst du dort dein x und ξ so wählen, sodass dein Fehler, also die Restgliedabschätzung im Intervall maximal wird.