Minimaler und maximaler Abstand zwischen Ursprung und Ellipse mit der Lagrange-Methode

Question

Bestimmen Sie den minimalen und maximalen Abstand d^2 zwischen dem Ursprung und der Ellipse x^2 + xy + y^2 - 3 = 0 mit der Lagrange-Methode.

https://www.desmos.com/calculator/n2iqdjrqec

$$L(x,y,λ)=x^2+y^2+λ(x^2+xy+y^2-3)$$

$$L'(x)=2x+2λx+λy$$

$$L'(y)=2y+2λy+λx$$

$$L'(λ)=x^2+xy+y^2-3$$

Und nun ?

Wie löse ich das Gleichungssystem? Und wie verfahre ich danach?

Answer 1

Hallo

z.B, erste Gl. nach y auf lösen, in 2 te Gleichung einsetzen  ergibt  x(Ausdruck in \lambda)=0

 da x=y=0 die Nebenbedingung  nicht erfüllt muss die (..)=0 sein. daraus \lambda, daraus dann x und y

Gruß lul

Answer 2

  Würd   ich nicht machen . Da gibt es doch einen Trick; mit Lagrange kannst du einsehen, dass es das Selbe ist, ob du bei gegebenem Volumen die kleinste Oberfläche bestimmst oder umgekehrt bei gegebener Oberfläche das größte Volumen .  Ach übrigens; kennst du  ===>  Paulimatrizen?  Würd ich mir mal in einem  QM  Lehrbuich rein ziehen .  Die Hauptbedingung

     D  (  x  ;  y  )  :=  x  ²  +  y  ²  =  min      (  1a  )

    Die Nebenbedingung   schreibe ich als Skalarprodukt

   E  (  x  ;  y  )  :=  <  x  ;  y  |  1|  +  1/2  S1  |  x  ;  y  >  =  const       (  1b  )

    mit 1|  =  Einheitsmatrix  und der Paulimatrix  S1  .     Dann würde man doch die folgende Linearkombination betrachten

     H  (  x  ;  y  )  :=  D  (  x  ;  y  )  +  k  E  (  x  ;  y  )       (  2a  )

      Und ich mache es genau umgekehrt.

     H1  (  x  ;  y  )  :=  E  (  x  ;  y  )  -  c  D  (  x  ;  y  )         (  2b  )

        mit

        c  :=  -  1 / k        (  2c  )

    Wir   leiten ( 2b )  ab

         H1_x  =  2  [  (  1  -  c  )  x  +  1/2  y  ]  =  0       (  3a  )

         H1_y  =  2  [  1/2  x  +  (  1  -  c  )  y  ]  =  0      (  3b  )

    Aber  (  3ab  ) ist doch nichts weiter als das Eigenwertproblem von  Matrix  ( 1b )   Die witzige Überlegung; die Einheitsmatrix vertauscht mit allen Matrizen.  Also auch mit S1 . Die Eigenvektoren von ( 1b ) sind identisch mit jenen von S1 .  Und die verlaufen unter  ( +/- 45 °  ) - ich verweise auf die einschlägige Literatur .

   Die Ellipse ist praktisch um 45 ° gedreht .  Ich setze zunächst in deiner Ausgangsgleichung x = y

       x  ²  +  x  ²  +  x  ²  =  3  ===>  x  =  y  =  1  ;  Abstand  d  =  sqr  (  2  )      (  4  )

    Für x = - y    erhöltst du x = sqr ( 3 ) , d.h.   Abstand  sqr  ( 6 )   Das wäre das Maximum und ( 4 )  das Minimum .

Answer 3

Wenn Lagrange nicht vorgegeben ist:

e:  \(x^2 + xy + y^2 - 3 = 0\)

 \(e(x,y)=x^2 + xy + y^2 - 3 \)

\(e_x(x,y)=2x+ y \)

\(e_y(x,y)= x + 2y \)

\(e'(x)=-\frac{e_x(x,y)}{e_y(x,y)}=-\frac{2x+ y }{x + 2y }\)

k: \(x^2 +  y^2  = r^2\)

\(k(x,y)=x^2 + y^2 - r^2 \)

\(k'(x)=-\frac{x }{y }\)

\(e'(x)=k'(x)\)

\(-\frac{2x+ y }{x + 2y }=-\frac{x }{y }\)

1.)

\(y=x\)   geschnitten mit e:

\(x^2 + x^2 +x^2 - 3 = 0\)

\(x_1=1\)          \(y_1=1\)

\(x_2=-1\)       \(y_2=-1\)

Sind Koordinaten des geringsten Abstands vom Ursprung.

2.)

\(y=-x\)  geschnitten mit e:

\(x^2 - x^2 +x^2 - 3 = 0\)

\(x_1=\sqrt{3}\)   \(y_1=-\sqrt{3}\)

\(x_2=-\sqrt{3}\)  \(y_2=\sqrt{3}\)

Sind Koordinaten des größten Abstands vom Ursprung.