Wie berechne ich die Fläche unter der Parabel y= Ax^2 + Bx + C zwischen x=p und x=q, wenn p>q

Question

y=Ax^2 - Bx + C      x=p   x=q     p>q

Finde Fläche

Answer 1

Hallo Yvonne,

vielleicht hilft Dir diese Herleitung weiter: $$y=Ax^2 + Bx + C \\ \begin{aligned} F &= \int_q^p Ax^2 + Bx + C \, \text{d}x \\&= \left. \frac13 Ax^3 + \frac12 Bx^2 + Cx\right|_q^p \\&= \frac13 A(p^3-q^3) + \frac12 B(p^2-q^2) + C(p-q) \\&= \frac{p-q}{6} \left( 2A(p^2 + pq + q^2) +3B(p+q) + 6C \right) \\&= \frac{p-q}{6} \left( \left( Ap^2+Bp + C\right)+ \left(Ap^2 + 2Apq + Aq^2 +2B(p+q) + 4C\right)+\left( Aq^2 + Bq + C\right) \right) \\&= \frac{p-q}{6} \left( y(p) + 4\left( A\left( \frac{p+q}{2}\right)^2 + B\left(\frac{p+q}{2}\right) + C\right) + y(q)\right) \\&= \frac{p-q}{6} \left( y(p) + 4y\left(\frac{p+q}{2} \right) + y(q)\right)\end{aligned}$$

Wenn die 'Fläche' vorzeichenbehaftet ist, dann spielt es auch keine Rolle, wenn sich zwischen \(q\) und \(p\) Nullstellen befinden sollten.

Answer 2

Eine reichlich wirre Aufgabe.
Falls möglich bitte ein Foto einstellen.

f ( x ) = a*x^2 + b*x + c
Stammfunktion
S ( x ) = a*x^3/3 + b*x^2/2 + c*x

Fläche
[ a*x^3/3 + b*x^2/2 + c*x ] zwischen q und p
a*p^3/3 + b*p^2/2 + c*p - ( a*q^3/3 + b*q^2/2 + c*q)

Comments

Vielen Dank für die Hilfe. Ein Bild zur Aufgabe gibt es leider nicht. Die Aufgabe wurde aus dem Englischen übersetzt. Man soll mathematisch beweisen, dass die Simpson Regel eine sehr gute Annäherung liefert, wenn es um die Flächenberechnung geht.

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Meiner Meinung nach ist die Aufgabe
unvollständig.
Eventuell vorhandene Nullstellen der
Parabelfunktion können nicht berücksichtigt
werden.

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Du findest vielleicht Anregungen hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Simpsonregel#Fehlerabsch%C3%A4tzung

Den Link hatte ich gestern im Zusammenhang mit einer anderen Frage herausgesucht.)