Ermitteln Sie den Wert für a, sodass g genau drei NS hat

Question

Einen wunderschönen guten Abend allerseits!
Kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen? Ich komme leider nicht weiter und das ist momentan die einzige Variante, wo ich nachfragen kann.

Die Aufgabe lautet vollständig wie folgt:

Die Funktion g wird durch die Funktionsgleichung $$ g(x) = f(x) + a $$ beschrieben.

Ermitteln Sie den Wert für a, sodass g genau 3 NS hat.$$ f(x) = -x^4+2x³+3x²-4x-4 $$Meine bisherige Überlegung war, die Funktion um 5 LE (Längeneinheiten) nach oben zu verschieben. Allerdings kam ich auf 4 NS. Dann habe 5,05 ausprobiert und so weiter und sofort. Im Endeffekt kam ich ständig entweder auf 4 NS oder nur 2 NS, weil ich dann automatisch über die x-Achse kam.

Die Funktion an der x-Achse zu spiegeln darf ich ja leider laut der Aufgabenstellung nicht.

 Ich würde mich um eure Hilfe freuen. LG

Answer 1

schau dir mal den Graphen von \(f(x)\) an:

~plot~ -x^4+2x^3+3x^2-4x ~plot~

Der einzige Weg, den ich kenne, genau drei Nullstellen in dem Fall hinzubekommen, ist den Tiefpunkt als Nullstelle hinzubekommen.

Dazu berechnest du den y-Wert von diesem und setzt den Wert für \(a\) ein, aber mit dem gegenteiligen Vorzeichen

Dazu:

\(f(x)=-x^4+2x^3+3x^2-4x \)

\(f'(x)=-4x^3+6x^2+6x-4\)

\(-4x^3+6x^2+6x-4=0\)

\({x}_{1}= 1\quad {x}_{2}=2\quad {x}_{3}=\frac{1}{2}\)

Die Stelle \({x}_{3}=\frac{1}{2}\) ist der Tiefpunkt. Das habe ich jetzt abgelesen, kann aber mittels 2. Ableitung überprüft werden.

Jetzt die y-Koordinate für \({x}_{3}\)

\(f(\frac{1}{2})=-\frac{17}{16}\)

Deswegen muss \(a=+\frac{17}{16}\)

=> \(g(x)=f(x)+\frac{17}{16}\)

Hier der Graph dazu:

~plot~ -x^4+2x^3+3x^2-4x+17/16 ~plot~

Gruß

Smitty

Comments

Bei f(x) steht hinten noch ein -4

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oh, das habe ich übersehen.

Danke für den Hinweis. Aber die Methodik ist ja richtig, also kann der Fragesteller wenigstens das als Lösungshilfe benutzen.

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Es ist echt nicht schlimm, dass Sie sich verrechnet haben. Ich habe diesen Rechnungsweg noch einmal genauso, nur mit richtigen Werten durchgerechnet und überprüft und kam auf das richtige Ergebnis, wie Gast jc2144 in seiner Lösung auch, DENNOCH hat mir Ihre Vorgehensweise deutlich mehr geholfen, da ich damit mehr was anfangen konnte, als sich etwas "vorzustellen", deshalb ein großes Dankeschön an Sie, Smitty! 

Answer 2

berechne die Extrema der Funktion:

Minimum bei (1/2,-81,6)

Maxima bei (-1,0) und (2,0)

Überlege dir nun dir Form der Funktion (eine umgedrehte Doppelmulde), dann ist klar, dass man die Funktion so verschieben muss, dass das jetzige Minimum eine Nullstelle ist, also a=81/16

(Einfacher gehts auch, wenn man erkennt, dass f(x)=-(x-2)^2(x+1)^2 )

Comments

Vielen Dank, Ihre Vorgehensweise mag zwar richtig sein, dennoch konnte ich mir das schlecht "vorstellen". :-) Ich habe die Methode von Smitty genutzt und kam auch auf das Ergebnis.