Extremwertaufgabe, x-Koordinate der Punktes P, so dass das Dreieck A max. Flächeninhalt hat?

Question

Hallo

Wie lautet hier die Hauptbedingung ?

Answer 1

aus Symmetriegründen reicht es die obere Dreieckshälfte zu maximieren.

Dann ist A= y(x)*(4-x)=√(x^2-1)*(4-x), 1<=x<=4 zu maximieren.

Tipp : bringe alles unter die Wurzel und nutze die Monotonie der Wurzel Funktion!

Comments

Könntest du den Tipp bitte einmal genauer erklären ?

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A= y(x)*(4-x)=√(x^2-1)*(4-x) 1<=x<=4 hast du soweit verstanden? 

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Alles unter eine Wurzel gebracht :

A(x)=√((x^2-1)*(4-x)^2)

Es reicht nun den Term unter der Wurzel , also

g(x)=(x^2-1)*(4-x)^2 zu maximieren

g'(x)= 2x*(4-x)^2-2*(4-x)*(x^2-1)=2*(4-x)*[x(4-x)-(x^2-1)]=0

x=4 ist das Minimum für A=0

[x(4-x)-(x^2-1)]=0

Das ist eine quadratische Gleichung mit den Lösungen

x=1±√(3/2), wobei nur die Lösung mit dem + im Definitionsbereich liegt.

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Vielen Dank für die Erklärung. Das ist ein sehr hilfreicher Tipp.

Answer 2

Die Fläche berechnet sich zu $$ A(x,y) = 2 \cdot (4-x) \cdot y $$ mit \( y = \sqrt{x^2-1} \)

\( y(x) \) in \( A(x,y) \) einsetzen, \( A(x,y(x)) \) nach \( x \) ableiten, Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen, bestimmen ob Maximum vorliegt und fertig.