Wie löst man ln(x+sqrt(x^2-1))+ln(x-sqrt(x^2-1))=0

Question

Ich bin gerade nicht in der Lage diese Gleichung zu lösen, könnte mir jemand sagen, wie ich auf x=1 komme?

Mein Versuch:

$$ln(x+\sqrt { { x }^{ 2 }-1 } )+ln(x-\sqrt { { x }^{ 2 }-1 } )=0\\ \Leftrightarrow ln((x+\sqrt { { x }^{ 2 }-1 } )*(x-\sqrt { { x }^{ 2 }-1 } ))=0\\ \Leftrightarrow ln({ x }^{ 2 }-({ x }^{ 2 }+1)=0\\ \Leftrightarrow ln(1)=0\\ \Leftrightarrow 0=0\quad ...\\ $$

Answer 1

Du musst noch die Definitionsmenge beachten, es müssen sowohl

$$x+\sqrt { { x }^{ 2 }-1 }$$ als auch $$x-\sqrt { { x }^{ 2 }-1 } $$

positiv sein.

blau oberhalb von grün und rot im Graphen:

~plot~ x;(x^2-1)^{1/2};-(x^2-1)^{1/2} ~plot~

Das ist für x≥1 der Fall. Und dann zeigt deine Rechnung:

Die Lösungsmenge ist L = {x∈ℝ | x≥1 }.

Kannst ja zur Probe mal 2 einsetzen. Das ist auch eine Lösung.

Also x=1 ist sicherlich nicht die einzige.

Comments

Hi, danke für die ganzen Antworten, ich schreibe nun einmal hier drunter:)

Ach also man kann es nicht einfach ausrechnen?

Habe mich schon gewundert, warum eine wahre Lösung also 0=0 rauskommt.

Dies bedeutet ja, dass die Gleichung für alles Werte des Defbereichs erfüllt sind, richtig?

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Dies bedeutet ja, dass die Gleichung für alles Werte des Defbereichs erfüllt sind, richtig?

Deine Rechnung war gut, kurz und richtig. Es fehlte nur die Bestimmung des Defininitionsbereichs, der ja eine Obermenge der Lösungsmenge sein muss.

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Genau so ist es.

Answer 2

Aufgrund der Wurzel
D = x ≥ 1
ln ( x + Wurzel ) + ln ( x - wurzel ) = 0
ln ( x + Wurzel ) = - ln ( x - wurzel )  | e hoch
e hoch ( ln ( x + Wurzel ) ) = e hoch ( - ln ( x - wurzel ))
x + Wurzel = 1 / ( x - Wurzel )
( x + √ ( x^2 - 1 )) * ( x √ ( x^2 - 1 ) ) = 1
x^2 - ( x^2 -1 ) = 1
1 = 1

Lösungsmenge x ≥ 1

Answer 3

Bestimme zunächst mal den Definitionsbereich der Gleichung.

Comments

Der lautet [1,infty[...

Answer 4

Ich würde mir zunächst nur die inneren Ausdrücke $$ x+\sqrt{x^2-1} $$ und $$ x-\sqrt{x^2-1} $$ anschauen und alle x finden, für die die beiden Terme 1 werden. Denn ln(1)=0. Und du wirst sehen, dass nur x=1 vorkommen wird.

Comments

ln(2+√ 3) ≈ 1,32   und ln(2-√ 3) ≈ - 1,32

gibt in der Summe auch 0.

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Ja stimmt, das habe ich auch vergessen zu beachten, dass der Ausdruck eigentlich insgesamt 0 ergibt.

Und wegen dem Definitionsbereich der inneren Ausdrücke hat man dann x≥1 als Lösungsmenge.

Answer 5

Irrläufer .............................................................