Ableitung von ln(sqrt(x))

Question

ich suche die Ableitung von $$ f(x) = \ln(\sqrt{x}) $$, komme aber mit zwei Rechenwegen auf zwei verschiedene Lösungen:

1) $$ f(x) = \ln(\sqrt{x})  = \ln{x^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}\ln{x}$$ und damit ist die Ableitung (da der ln zu 1/x abgeleitet wird) $$f'(x) = \frac{1}{2x}$$

2) Mit Kettenregel: Innere Funktion ist sqrt(x) mit Ableitung 1/(2sqrt(x)) äußere Funktion ist der ln mit Ableitung 1/sqrt(x), damit kommt dann doch $$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}* \frac{1}{\sqrt{x}}$$ raus, was offensichtlich nicht korrekt ist.

Vermutlich übersehe ich etwas total triviales, aber ich komme leider im Moment beim besten Willen nicht drauf, was der Fehler in Variante 2 ist.

Answer 1

Hallo

 was du übersiehst ist √x *√x=x also sind deine 2 Ergebnisse gleich.

Gruß lul

Answer 2

Beachte, dass $$x = \sqrt{x}\cdot\sqrt{x}$$für die hier zulässigen \(x>0\) gilt und daher beide Lösungen nur verschieden aussehen, aber ansonsten gleichwertig sind.