Seien n 2 N und x1; x2; : : : xn > 0. Zeige, dass:

Question

Aufgabe:

Seien \( n \in \mathbb{N} \) und \( x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}>0 . \) Zeige, dass:

\( \left(\sum \limits_{k=1}^{n} x_{k}\right)\left(\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{x_{k}}\right) \geq n^{2} \)

Answer 1

ist ja wohl klar. Ausmultipliziert stellt sich die Summe dar:

\( \left( \sum_{k=1}^n x_k \right) \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{x_k} \right) = \sum_{k, l = 1}^{n} \frac{x_k}{x_l} \).

Diese Doppelsumme hat n^2 Summanden, die man sich in einer (n x n)-Matrix aufgeschrieben vorstellen kann. Die Diagonalelemente dieser Matrix sind wegen k = j alle 1.

Für Nichtdiagonalelemente gilt die paarweise Beziehung

\( \frac{x_k}{x_j} + \frac{x_j}{x_k} \geq 2 \), was man wegen der Positivität aller \( x_k \) folgendermaßen einsehen kann:

\( \frac{x_k}{x_j} + \frac{x_j}{x_k} \geq 2 \)

\( \Leftrightarrow \frac{x_k^2 + x_j^2}{x_k x_j} \geq 2 \)

\( \Leftrightarrow x_k^2 - 2x_j x_k + x_j^2 \geq 0 \)

\( \Leftrightarrow (x_k - x_j)^2 \geq 0 \), eine wahre Aussage.

MfG

Mister

Answer 2

Üblicherweise beweist man eine derartige Behauptung durch vollständige Induktion. Ich habe das mal gemacht:

$$Behauptung:\quad \left( \sum _{ k=1 }^{ n }{ { x }_{ k } }  \right) *\left( \sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ { x }_{ k } }  }  \right) \quad \ge \quad { n }^{ 2 }\\ \\ Für\quad n=1\quad gilt\quad diese\quad Behauptung,\quad denn:\\ \\ \left( \sum _{ k=1 }^{ 1 }{ { x }_{ k } }  \right) *\left( \sum _{ k=1 }^{ 1 }{ \frac { 1 }{ { x }_{ k } }  }  \right) ={ \quad x }_{ 1 }*\frac { 1 }{ { x }_{ 1 } } =\quad 1\quad \ge \quad { 1 }^{ 2 }\\ \\ Voraussetzung:\quad Für\quad ein\quad festes\quad m\quad \ge \quad n\quad gelte:\\ \\ \left( \sum _{ k=1 }^{ m }{ { x }_{ k } }  \right) *\left( \sum _{ k=1 }^{ m }{ \frac { 1 }{ { x }_{ k } }  }  \right) \quad \ge \quad { m }^{ 2 }\\ \\ Zeige,\quad dass\quad dann\quad auch\quad gilt:\\ \\ \left( \sum _{ k=1 }^{ m+1 }{ { x }_{ k } }  \right) *\left( \sum _{ k=1 }^{ m+1 }{ \frac { 1 }{ { x }_{ k } }  }  \right) \quad \ge \quad { (m+1) }^{ 2 }\\ \\ Beweis:\\ \left( \sum _{ k=1 }^{ m+1 }{ { x }_{ k } }  \right) *\left( \sum _{ k=1 }^{ m+1 }{ \frac { 1 }{ { x }_{ k } }  }  \right) \quad \\ [Der\quad jeweils\quad (m+1)-te\quad Summand\quad wird\quad von\quad der\quad Summe\quad gelöst:]\\ =\left( \sum _{ k=1 }^{ m }{ { x }_{ k } } +\quad { x }_{ m+1 } \right) *\left( \sum _{ k=1 }^{ m }{ \frac { 1 }{ { x }_{ k } } \quad +\quad \frac { 1 }{ x_{ m+1 } }  }  \right) \\ [Klammern\quad ausmultiplizieren:]\\ =\left( \sum _{ k=1 }^{ m }{ { x }_{ k } }  \right) *\left( \sum _{ k=1 }^{ m }{ \frac { 1 }{ { x }_{ k } }  }  \right) \quad +{ \quad x }_{ m+1 }*\sum _{ k=1 }^{ m }{ \frac { 1 }{ { x }_{ k } } \quad +\quad \frac { 1 }{ x_{ m+1 } }  } \sum _{ k=1 }^{ m }{ { x }_{ k } } +\quad \frac { { x }_{ m+1 } }{ { x }_{ m+1 } } \\ [Das\quad Produkt\quad der\quad beiden\quad Summen\quad ist\quad laut\quad Voraussetzung\quad \ge \quad { m }^{ 2 },\quad der\quad letzte\quad Summand\quad ist\quad gleich\quad 1:\\ \ge \quad { m }^{ 2 }{ \quad +\quad x }_{ m+1 }\left( \sum _{ k=1 }^{ m }{ \frac { 1 }{ { x }_{ k } } \quad  }  \right) { \quad +\quad \frac { 1 }{ x_{ m+1 } }  }\left( \sum _{ k=1 }^{ m }{ { x }_{ k } }  \right) +\quad 1\\ [Die\quad beiden\quad verbliebenen\quad Summen\quad zusammenfassen:]\\ =\quad { m }^{ 2 }\quad +\sum _{ k=1 }^{ m }{ \left( \frac { { x }_{ m+1 } }{ { x }_{ k } } \quad +\frac { { x }_{ k } }{ { x }_{ m+1 } }  \right)  } +\quad 1\\ [An\quad dieser\quad Stelle\quad möge\quad sich\quad der\quad geneigte\quad Leser\quad klarmachen,\quad dass\quad für\quad alle\quad a,\quad b\quad \ge \quad 0\quad gilt:\quad \quad \\ \frac { a }{ b } +\frac { b }{ a } \ge \quad 2\quad ,\quad also\quad gilt\quad dies\quad auch\quad für\quad den\quad Ausdruck\quad \frac { { x }_{ m+1 } }{ { x }_{ k } } \quad +\frac { { x }_{ k } }{ { x }_{ m+1 } } .\quad Daher:]\\ \ge \quad { m }^{ 2 }\quad +\quad \sum _{ k=1 }^{ m }{ 2\quad +\quad 1 } \\ =\quad { m }^{ 2 }\quad +\quad 2\quad m\quad +\quad 1\quad \\ =\quad { (m+1) }^{ 2 }\\ q.e.d.\\ \\ Also\quad gilt\quad wegen\quad des\quad Axioms\quad von\quad der\quad vollständigen\quad Induktion\quad die\quad Behauptung\quad für\quad alle\quad n\quad \ge \quad 1$$

Hmm, es klappt mal wieder nicht. Wär schön, wenn mir mal jemand sagen könnte, woran das liegt ...?

Also: Dann eben doch als Bild ( eventuell die Browservergrößerung etwas höher einstellen):

 

Oh, jetzt hat' s doch geklappt - aber warum ist das denn nun so blöd zentriert gesetzt...?