Wahrscheinlichkeit bei abwechselndem Kugeln ziehen

Question

In einer Urne befinden sich 5 weisse und 5 schwarze Kugeln. A und B ziehen abwechslungsweise eine Kugel und behalten diese bis jeder 2 Kugeln hat. Sieger ist wer mehr weisse Kugeln hat.

Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Spiel unentschieden endet?

Ich habe die Möglichkeiten:

wsws=5/63

swsw=5/63

wwww=1/42

ssss=1/42

Total=13/63

Lösung sollte aber 0.365 sein. Was habe ich falsch gemacht?

Answer 1

In der Urne liegen n1 weisse und n2 rote Kugeln.
Es werden k Kugeln ohne Zurücklegen ausgewählt.
Die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter diesen k Kugeln genau k1 rote und k2 weisse Kugeln befinden, beträgt

P = (n1 über k1) * (n2 über k2) / ( (n1+n2) über (k1+k2) )

Es gilt

n1=n2=5

k1=k2=2 (unentschieden)

P = (5 über 2) · (5 über 2) / ( 10 über 4 ) ~ 0,4762

Die angegebene Lösung ist also falsch. Wahrscheinlich wurde übersehen, dass sich mit jedem Zug die Wahrscheinlichkeit, eine weisse oder rote Kugel zu ziehen, verändert. Beispiel : Wurde beim ersten Zug eine weisse Kugel gezogen, dann ist die Wahrscheinlichkeit, beim zweiten Zug wieder eine weisse zu ziehen 4/9, eine schwarze dagegen 5/9.

Comments

Hm... die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen, bleibt doch gleich oder?

Außerdem erzeugt die Zugfolge wsws kein Unentschieden, wwww aber schon.

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Du hast Recht, ich stand auf dem Schlauch ....

Answer 2

Möglichkeiten für Unentschieden:

{ssss, ssww, swws, wwss, wssw, wwww}

Comments

(Zur Kontrolle: Die richtige Wahrscheinlichkeit ist 23/63.)

Answer 3

wsws
wssw

swsw
swws

wsws
5/10 * 5/9 * 4/8 * 4/7 = 400 / 5040 = 0.07937
Alle Ziehung haben die gleiche Wahrscheinlichkiet
400 / 5040 * 4 = 1600 / 5040 = 0.3175

Außerdem
wwww
ssss

wwww
5/10 * 4/9 * 3/8 * 2/7 = 120 / 5040 = 0.0238
120 / 5040 * 2 = 0.0476

0.3175 + 0.0476 = 0.365. Bingo.

Comments

Ich muß das noch einmal durchdenken.

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Was soll denn das sein? Natürlich gelingt es bisweilen, mit einem falschen Ansatz zu einem richtigen Ergebnis zu kommen. Bei der Zugfolge wsws gewinnt Spieler A!

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Sieger ist wer mehr weisse Kugeln hat.
Verlierer wer weniger weiße Kugeln hat

Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass das
Spiel unentschieden endet ?

Unentschieden
Beide haben dieselbe Anzahl an weißen Kugeln
ssss ( 0 ) = 5/10 * 4/9 * 3/8 * 2/7 = 0.00238
ssww ( 1 ) = 5/10 * 4/9 * 5/8 * 4/8 = 0.0794
wwss ( 1 ) = 5/10 * 4/9 * 5/8 * 4/7 = 0.0794
wssw ( 1 ) = 5/10 * 5/9 * 4/8 * 4/7 = 0.0794
wwww ( 2 )  = 5/10 * 4/9 * 3/8 * 2/7 = 0.00238
swws ( 1 ) = 5/10 * 5/9 * 4/8 * 4/7 =  0.0794

0.365