f : R^2 → R^2; (x,y) → (x-y,x^2- y^2) Wie weiss man, wann u nicht 0 ergibt?

Question

Aufgabe 7 Wir betrachten die Abbildung f : R^2 → R^2 (x,y) → (x-y,x^2- y^2)
Untersuchen Sie, ob f injektiv oder surjektiv ist.
Losung Sei (u,v) ∈ R2 . Wir betrachten die Gleichung: f(x,y)=(x-y,x^2- y^2)=(u,v)
Wir erhalten das Gleichungssystem: x-y = u ; x^2- y^2 = v
Aus der ersten Gleichung folgt y = x-u.

Wir setzen diesen Ausdruck in die zweite Gleichung ein und erhalten so:
x^2 -(x-u)^2 = v
=> x^2- [x^2- 2xu + u`2]=v
=> x^2- x^2 +2xu -u^2 = v
=> 2xu-u^2 = v => x = (u^2 + v )/2u

Für y erhalten wir: y = x-u = (u^2 + v) /(2u)  - u = (v-u^2)/ 2u
Wenn u nicht 0 ist, gibt es eine eindeutige Lösung.

wie weiss man wann u nicht 0 ergibt ?

Answer 1

Nunja, vielleicht bist du die Aufgabe etwas falsch angegangen. Ich würde es so machen:

Injektivität: 

Sei f(x,y) = f(a,b)  

⇔ (x - y , x2 - y2) = (a - b , a2 - b2)   (Wie wir wissen: (a,b) = (x,y) genau dann, wenn a=x ; b=y)

⇒ x - y = a - b ; x2 - y2 = a2 - b2 

So, daraus folgt aber nicht die Injektivität! Was ist x2 bzw. y2? 

 

Ist die Aufgabe richtig abgeschrieben?

Gruß...