Bestimmenung einer Tangentengleichung in einem Punkt

Question

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von y = ln(x) im Punkt mit der X-Koordinate 1/2.

(Tangentengleichung: y - y1 = a (x -x1) ; wobei (x1;y1) ein Punkt ist ). Zeigen Sie Ihre Herleitung auf.

Answer 1

Der Punkt ist \(P\left(\frac{1}{2}|\ln\left(\frac{1}{2}\right)\right).\) Die allgemeine Geradengleichung ist \(y=mx+n.\)

Diese muss den gleichen Anstieg wie \(\ln(x)\) im Punkt P haben.

Also: \(m=\frac{d}{dx}\ln(x)|_{x=\frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2.\)

Die Gerade ist dann \(y=2x+n.\)

Wenn man da den Punkt P einsetzt, kann man noch n berechnen:

\(\ln\left(\frac{1}{2}\right)=2\cdot \frac{1}{2}+n\Rightarrow n=\ln\left(\frac{1}{2}\right)-1=\ln\left(\frac{1}{2}\right)-\ln(e)=\ln\left(\frac{1}{2e}\right)=-\ln(2e).\)

Die Tangentengleichung ist also: \(y=2x-\ln(2e).\)

Comments

Vielen Dank für die Beantwortung der Frage. Doch die Lösung im Buch lautet y = 2x - 1 -ln2

Da ich mathematisch nicht sehr gewandt bin weiss ich nicht ob Ihr Ergebnis umgeformt das gleiche wie im Buch ergibt.

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Das ist das Gleiche: \(2x-\ln(2e)=2x-(\ln(2)+\ln(e))=2x-\ln(2)-1.\)