Erste Ableitung der Funktion + Tangentengleichung

Question

Für die folgenden Funktion ist ein Definitionsbereich anzugeben, auf dem die erste Ableitung
sicher existiert. Berechnen Sie diese anschließend. Wählen Sie ein konkretes x₀ aus dem gewählten Definitionsbereich und stellen Sie an x₀ die Tangentengleichung an den Funktionsgraphen auf.

f(x) = x ^|x|

Als Hinweis steht folgendes dabei:

a^b = e ^{b log(x)}

Daraus schließe ich:

x^|x| = e ^{|x| log(x)}

Um die erste Abeitung davon zu erhalten würde ich die Kettenregel verwenden und komme somit auf:

f'(x) = e^{|x| log(x)} d/dx(|x| log(x))

Nun stehe ich vor dem Problem dass ich bei der inneren Ableitung die Produktregel anwenden muss, und somit |x| und auch log(x) ableiten muss, nur habe ich keine Ahnung wie das funktioniert.

Oder ist die Ableitung von |x| einfach 1?
Auch der Hinweis ist mir unklar, also warum dies gilt: a^b = e ^{b log(x)}

Answer 1

Es geht um die Ableitung von Expontialfunktion.
a^x, b^x oder sogar x^x.
Der Clou ist diese erst in eine e^-Funktion umzuwandeln
und dann die e-Funktion abzuleiten.
a^x = e^{ln[a^x]} und diese dann abzuleiten.

Hier meine Umformungen

Comments

Hier eine Tangente

~plot~ x^x ; x ; [[ 0 | 2 | 0 | 4 ]] ~plot~

Answer 2

 

ich benutze  ln(x) für log_e(x), weil damit der natürliche Logarithmmus eindeutig bezeichnet ist.

a^b = e ^{b log(x) ?}  , das ist eine unsinnige Formel. a^b wäre dann unabhängig von a,  was ist x?

Richtig:  Für b>0  (sonst ist b^x nicht in ganz ℝ definiert. 

 b^x  =  (e^(ln(b))^x , weil e^x und ln(x) gegenseitige Umkehrfunktionen sind und sich 

                          gegenseitig "aufheben":  e^ln(x) = x  und ln(e^x) = x.

 b^x  =  (e^(ln(b))^x = e ^{x· ln(b)}  nach dem Potenzgesetz  (a^m)ⁿ = a^m·n 

→  x^|x| = e ^{|x| ln(b)}  wäre richtig für x, b >0

Letzteres kannst du betragsfrei schreiben:

e ^{|x| ln(b)}   =  e ^{x · ln(x)}      für  x>0  ( da |x| = x)

                        e ^{- x · ln(x)}  für  x<0   (|x| = -x)

Jetzt kannst du in beiden Definitionsabschnitten betragsfrei mit Produkt- und Kettenregel ableiten.

Gruß Wolfgang