f(x)=-1/2x2+2x+2
f '(x) = -x + 2
a)
f (3) = 7/2, die Gerade verläuft also durch P( -1 | 0) und durch S(3 | 3,5)
→ ihre Steigung mG = (3,5 - 0) / (3 - (-1)) = 3,5 / 4 = 0,875
Die Tangentensteigung an der Stelle x=3 ist mT = f '(3) = -1
Schnittwinkel: tan(α) = | (mG - mT) / ( 1 + mG • mT) | = 15 → α ≈ 86,2°
b)
Die Gerade durch den Punkt P( xp | yp ) mit der Steigung m hat die Gleichung
y = m • ( x - xp ) + yp [ Punkt-Steigungs-Formel ]
Ist x=b die (noch nicht bekannte) Berührstelle, also B(b|f(b)) der Berührpunkt dann gilt:
Tangente: y = f '(b) • ( x - b ) + f(b) = (- b + 2) • (x - b) - 1/2 b2 + 2b + 2
Einsetzen von P(-1 | 0):
0 = (-b + 2) • (-1- b) - 1/2 b2 + 2b + 2
Ausmultiplizieren und zusammenfassen:
0 = b • (b+2) / 2 → b = 0 oder b = -2 [ Editiert gemäß Kommentar von Georgborn]
Tangente: y = f '(b) • (x - b) + f(b)
y = 2x + 2 in B1(0|2) und y= 4x+4 in B2(-2|-4)
Gruß Wolfgang