Tangentengleichung aufstellen, welche durch die 3Nst verläuft

Question

Aufgabe:

In der Mitte zwischen zwei benachbarten Nullstellen wird die Tangente an den Graphen von fa gelegt.

Zeigen Sie: Diese Tangente schneidet die x-Achse an der 3.Nullstelle von fa.

Davor musste man die Nullstellen von der Funktionenschar: fa(x)= 1/2a * x³ - 3/2x berechnen. Ich habe da 0, 1,73, -1,73 raus.

Problem/Ansatz:

Die 1 Aufgabe verstehe ich komplett nicht und wollte um Hilfe bitten mit einem Rechenweg der erklärt wird. Danke

Answer 1

Hallo,

dein Ergebnis gilt für a = 1, aber ich denke, du sollst zeigen, dass die Behauptung allgemein gilt. Es gibt bestimmt einfachere Lösungen, aber mir ist um diese Uhrzeit keine andere eingefallen ;-)

Die Nullstellen sind \(x_1=-\sqrt{\frac{3}{a}}\quad x_2=0\quad x_3=\sqrt{\frac{3}{a}}\)

Die Mitte zwischen x₁ und x₂ ist \(-0,5\sqrt{\frac{3}{a}}\)

y-Koordinate dieses Punktes \(f(-0,5\sqrt{\frac{3}{a}})=\frac{9}{16}\sqrt{\frac{3}{a}}\)

Um die Gleichung der Tangente zu bestimmen, brauchst du zunächst die Steigung:

\(f'(-0,5\sqrt{\frac{3}{a}})=-\frac{3}{8}\)

allgemeine Form einer Tangente/Geraden: y = mx +b mit m = Steigung und b = Schnittpunkt mit der y-Achse

Um b zu ermitteln, setze

$$y=\frac{9}{16}\sqrt{\frac{3}{a}}$$

\(m=- \frac{3}{8} \)

$$x=-0,5\sqrt{\frac{3}{a}}$$

und löse nach b auf.

Die Tangentengleichung lautet dann \(t(x)=-\frac{3}{8}x+\frac{3}{8}\sqrt{\frac{3}{a}}\)

Setzte diese Gleichung = 0 und löse nach x auf. Das Ergebnis ist \(x=\sqrt{\frac{3}{a}}\)

Gruß, Silvia

Comments

Wie kommt man auf die -0,5, sonst habe ich es dank ihnen verstanden. Die Mitte von x1 und X2 verstehe ich nicht so ganz ...

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Die Strecke geht von \(-\sqrt{\frac{3}{a}}\) bis 0. Du rechnest \(-\sqrt{\frac{3}{a}}+0,5\sqrt{\frac{3}{a}}=-0,5\sqrt{\frac{3}{a}}\)

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Und wie kommt man auf 9/16 als y? Bekomme da was anderes raus wenn ich für x \( \sqrt{3a} \) einsetze

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\(f_a'(x)=1,5ax^2-1,5\\ f_a'(-0,5\sqrt{\frac{3}{a}})=1,5a(-0,5\sqrt{\frac{3}{a}})^2-1,5\\=1,5a(0,25\frac{3}{a})-1,5\\=1,5a\cdot \frac{0,75}{a}-1,5\\-\frac{3}{8}\)

etwas umständlich, aber hoffentlich nachvollziehbar

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Ich habe meine Frage überarbeitet meinte y. Entschuldung. Schreibe heute eine Klausur und kann nur diese Aufgabe nicht.

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Du musst für x nicht \(\sqrt{\frac{3}{a}}\) einsetzen, sondern \(-0,5\sqrt{\frac{3}{a}}\)

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Meine ich, ich habe in die erste Funktion eingesetzt. 1/2a * (-0,5\( \sqrt{3a} \))³ - 3/2 * (-0,5\( \sqrt{3a} \)). Wenn man es ins GTR eingibt kommt 0,974 raus.

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Moment, ich glaube, wir reden aneinander vorbei. \( \frac{9}{16} \) als y? Nein, \(y=\frac{9}{16}\sqrt{\frac{3}{a}}\)

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Ja, wie kommt man auf das lautet meine Frage.

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Es dauert zu lange, bis ich das in Latex geschrieben habe. Ich schicke dir gleich ein Foto bzw. Scan.

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Danke vielmals

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... und hoffe, du wirst daraus schlau:

Answer 2

Wenn deine Nullstelen richtig wären, dann müsste in der Mitte zwischen 0 und 1,73, also bei 0,865, die Tangente angelegt werden, und diese Tangente müsste die x-Achse bei der dritten Nullstelle, also bei -1,73, schneiden.