Lösung der Ungleichung: 25 ≤ (x-4)^2 und |x+1| ≤ (x-4)^2 - 25

Question

Bestimmen Sie die Lösung folgender Ungleichung:

25 ≤ (x-4)^2 und |x+1| ≤ (x-4)^2 - 25

Comments

Offenbar wurde mein Kommentar mit der Bitte um eine vollständige Aufgabenstellung gelöscht. Mich interessiert insbesondere: Handelt es sich um zwei Aufgaben mit zwei Ungleichungen oder um eine Aufgabe mit einem Ungleichungssystem?

Answer 1

|x+1| ≤ (x-4)^2 - 25

1. Fall    x ≤ -1 dann hast du

   -x -1  ≤ (x-4)^2 - 25

<=>  0 ≤   x^2 -7x  - 8

<=>   0 ≤ (x-8)*(x+1)

<=>  x ≤ 8  oder   x ≤ -1

zusammen mit der Fallannahme also   x ≤ -1 .

2. Fall    x > -1 dann hast du

  x +1  ≤ (x-4)^2 - 25

<=>  0 ≤   x^2 -7x  - 8

<=>   0 ≤ (x-10)*(x+1)

<=>  x ≥ 10  oder   x ≤ -1

zusammen mit der Fallannahme also    x  ≥ 10.

Lösungsmenge insgesamt also  L = ] -∞ ; -1 ] ∪ [ 10 ; ∞ [.

siehe auch Grafik: blau nicht oberhalb von rot

~plot~ abs(x+1);(x-4)^2 -25;[[-10|12|-30|50]] ~plot~

Comments

Wie kommt man auf die Lösungsmenge ? Das x kleiner gleich -1 sein muss ? Ich hätte jetzt gesagt das die lösungmenge von -1<x<9 geht. Wie erkennt man das ?

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Beim 1. Fall war doch rausgekommen:

alle mit x ≤ -1  sind jedenfalls Lösungen.

Und beim 2. Fall alle mit x ≥ 10.

Insgesamt also alle, bei denen das eine oder das andere gilt.

Answer 2

Hallo

 1. Ungleichung, einfach die Wurzel ziehen beide Vorzeichen ansehen, dann nach x auflösen.

2, Ungleichung: Fallunterscheidung : x>-1 und x<-1, dann einfach die Quadratische Gleichung 0<... durch quadratische Ergänzung lösen , oder pq Formel

Gruß lul

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Fall x=-1 ????

Answer 3

Zu der ersten:

$$ (x-4)^2\geq 25\\ \Leftrightarrow x^2-8x+16\geq 25\\ \Leftrightarrow x^2-8x-9\geq0$$  Hier sollte man sich Gedanken über die kritschen Stellen (Nullstellen) machen; die Stellen, wo ein Vorzeichenwechsel stattfindet.$$ x^2-8x-9=0\\x_{1,2}=-\frac{-8}{2}\pm \sqrt{\Big(\frac{-8}{2}\Big)^2+9}=4\pm \sqrt{25}=4\pm 5\\x_1=9\qquad x_2=-1 $$ Weil der quadratische Ausdruck $$ x^2-8x-9 $$ ein positives Vorzeichen vor der größten Potenz hat, ist dieser zwischen den Nullstellen negativ. Damit ergibt sich:

$$ x_1\geq -\frac{-8}{2}+\sqrt{\Big(\frac{-8}{2}\Big)^2+9}=4+\sqrt{25}=9\\x_2\leq -\frac{-8}{2}-\sqrt{\Big(\frac{-8}{2}\Big)^2+9}=4-\sqrt{25}=-1\\\mathbb{L}=\{x\in \mathbb{R}:x\leq -1 \quad \lor \quad 9\leq x \}=]-\infty,-1]\cup [9,+\infty[$$

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Wie kommt man auf die Lösungsmenge ? Das x kleiner gleich -1 sein muss ? Ich hätte jetzt gesagt das die lösungmenge von -1<x<9 geht. Wie erkennt man das ?

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Nein. Das wäre ja dann der Fall, wenn du < 25 betrachtest. Und wie ich auf die Lösungsmenge komme, steht doch in meiner Rechnung.

Answer 4

( x - 4 )^2 ≥ 25
Es gibt mehrere Möglichkeiten zur Lösung
( x - 4 )^2 ≥ 25 | Wurzelziehen
x - 4 ≥ 5
x ≥ 9
und
x - 4 ≤ - 5
x ≤ -1

( x ≥ 9 ) und ( x ≤ -1 )

oder

Reduzierung auf eine Parabel
( x - 4 )^2 = 25
x - 4 = ± 5
x = 9
und
x = -1
Der Scheitelpunkt liegt in der Mitte
( für eine Punktprobe zwischen -1 und 9 )
x = 5
( 5 - 4 )^2 = 1
Der Punkt liegt unterhalb von 25
deshalb ist der gesamte Bereich zwischen
-1 und 9 unterhalb von 25.
( Parabelbogen )
Die Lösung sind daher die anderen Bereiche
( x ≥ 9 ) und ( x ≤ -1 )