Bestimme den Parameter a so, dass die Ungleichung 2x² ≤ x-a genau eine Lösung hat.

Question

Aufgabe:

Bestimme den Parameter a so, dass die Ungleichung 2x² ≤ x-a genau eine Lösung hat.

Problem/Ansatz:

Leider fehlt mir der Ansatz.. Ich vermute dass ich mit einer Fallunterscheidung arbeiten muss.. finde aber einfach keinen Weg..

Answer 1

2x² ≤ x - a

2x² - x + a ≤ 0

Bestimme das a so, dass der Scheitelpunkt (Tiefpunkt) auf der x-Achse liegt.

Kontrol-Lösung a = 1/8

Skizze

~plot~ 2x^2-x+1/8;[[-0.2|0.6|-0.1|0.5]] ~plot~

Answer 2

Hallo. Ich habe (im Kopf überschlagen) a=3/8 heraus, ohne Fallunterscheidung. Welche Lösungsmethoden legt denn der Stoffzusammenhang nahe?

Comments

quadratische Ergänzung oder Untersuchung von Nullstellen

Answer 3

Ich schreibe es mal mit = auf.

2x² =  x - a

2  x²  -  x =   - a

x^2 - \( \frac{x}{2} \) =  - \( \frac{a}{2} \)

(x-  \( \frac{1}{4} \)) ^2  =    - \( \frac{a}{2}\)  +  \( \frac{1}{16}\) =  \( \frac{1- 8a}{16} \)

(x- \( \frac{1}{4} \)) ^2  =  \( \frac{1- 8a}{16} \) 

x₁  =    \( \frac{1}{4} \)  +( \( \frac{1- 8a}{16} \)  ) ^  \( \frac{1}{2} \)

x₂  = \( \frac{1}{4} \)  -  ( \( \frac{1- 8a}{16} \)  ) ^  \( \frac{1}{2} \)

 \( \frac{1- 8a}{16} \)  = 0

a = \( \frac{1}{8} \)

Bei a=1/8 berührt die Parabel die Gerade.

Bei a<1/8 gibt es 2 Schnittpunkte.

Bei a>1/8 gibt es keinen Schnittpunkt.

Text erkannt:

\( \mathrm{a}=\frac{1}{8} \)
\( \approx 0.13 \)
\( f(x)=2 x^{2} \)
\( g(x)=x-a \)
\( x-0.13 \)

Comments

Bestimme den Parameter a so, dass die Ungleichung 2x² ≤ x-a genau eine Lösung hat.

2.Weg:

f(x)=2x² - x + a

f´(x)= 4x - 1

4x - 1=0

x =  \( \frac{1}{4} \)  →    f (\( \frac{1}{4} \) )=  \( \frac{1}{8} \)  - \( \frac{1}{4} \)  +   a =  - \( \frac{1}{8} \)  + a

- \( \frac{1}{8} \)  + a =0

a =  \( \frac{1}{8} \)

mfG

Moliets

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Vielen Dank für die ausführliche Antwort! :)