Polynom Untervektorraum alle beliebig stetig diff-bare funktionen?

Question

Kann jemand bitte helfen? Normalerweise überprüft mann ob die Nullvektor enthalten ist.

Z.b.  Polynom von Grad 2 : p(x)= ax² + bx+c für alle a,b,c ∈ D. Für p(0) heben wir p(x)=c und hier wenn c nicht gleich null ist, dann ist die Nullvektor nicht enthalten und es folgt dass es kein Vektorraum ist.

Hier aber ist es anders gegeben und ich verstehe es nicht:

https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Untervektorraum#Vektorraum_der_Polynome

Kann jemand das Lösen?

Danke im Vorauß!

Comments

Du hast das ueberhaupt nicht verstanden. Die "Vektoren" sind hier Funktionen \(x\mapsto f(x)\). Und der "Nullvektor" ist die Nullfunktion \(x\mapsto0\). Du solltest Dir mal was zum Thema "Vektorraeume von Abbildungen" ansehen, z.B. das hier:

https://books.google.de/books?id=3e4kBgAAQBAJ&pg=PA17

Answer 1

Z.b.  Polynom von Grad 2 : p(x)= ax^2 + bx+c für alle a,b,c ∈ D.

Du hast das D falsch interpretiert. Das ist der Definitionsbereich des

Polynoms, also die Menge aus der die x-Werte sind.

Hier sind a,b,c beliebig aus ℂ, also ist mit a=b=c=0 auch

das Nullpolynom dabei.  Prüfe mal die weiteren

Unterraumkriterien !

Comments

Stimmt das dann?

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Kann leider kaum was erkennen, aber ich glaube die

Grundform eines Polynoms vom Grad kleiner oder gleich 3

hast du richtig notiert.

Und dann ist nur zu zeigen, dass die Summe zweier solcher

wieder eines ist und bei Multiplikation mit irgendeinem z∈ℝ

wieder ein solches Polynom entsteht.

Außerdem musst du noch darauf hinweisen, dass diese

Polynomfunktionen alle in C^∞(D;ℝ) liegen.

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Ich weiß was ich zeigen soll, nur den rechenweg ist mir bisschen unklar. Stimmt das jetzt?

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Fast, das mit dem D gehört da am Ende nicht hin.

Die Summen müssen die ganze Zeit nur bis 3 (nicht bis n)

gehen. Und am Schluss könntest du sagen:

Das Ergebnis ist also wieder in U denn es ist ein

Polynom höchstens 3. Grades mit den Koeffizienten

α*a₀ +β*b₀ und α*a₁ +β*b₁  etc.