Ähnlichkeit von zwei Matrizen zeigen

Question

Hallo :)

Ich soll zeigen, dass zwei Matrizen ähnlich zueinander sind

A= $$ \begin{pmatrix} 0& 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} $$

Und

B=$$ \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} $$

Ähnlich sind ja zwei Matrizen wenn gilt: B=S^{-1} A S

Also habe ich versuch S zu bestimmen und dazu die Eigenvektoren von A genommen... S=$$ \begin{pmatrix} 1& -1\\ 1 & 1 \end{pmatrix} $$

Und die Inverse bestimmt: $$ \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ -1/2 & 1/2 \end{pmatrix} $$

Aber wenn ich S^{-1} *A* S rechne komme ich nicht auf B....

Kann mir bitte Jemand erklären was ich falsch gemacht habe?

Comments

Wie kommst Du auf die seltsame Idee, auf diese Weise koennte man ein passendes \(S\) finden? Zwei Matrizen sind aehnlich, wenn sie dieselbe Jordanform \(J\) haben. Dann gibt es Matrizen \(T\) und \(U\) mit $$T^{-1}AT=J=U^{-1}BU.$$ Das ergibt dann (falles es ueberhaupt interessiert) $$UT^{-1}ATU^{-1}=B,$$ mithin also $$S=TU^{-1}.$$ Das ist ein Plan, ein passendes \(S\) explizit anzugeben. Was Du da verfolgst, ist kompletter Bloedsinn.

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Und wie komme ich da explizit auf das U^{-1} und T?

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Ich finde es ein bisschen gemein zu sagen dass, das was ich da mache kompletter blödsinn ist. Ich habe diese vorgehensweise auf verschiedenen Seiten gefunden. Und mir ist klat, dass das nicht immer geht, da es von der diagonalisierbarkeit von A und B abhängt.

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Eine Transformationsmatrix, die die Aehnlichkeit vermittelt, ist gar nicht gefragt. Da ist nur gefragt, ob die beiden Matrizen aehnlich sind oder nicht. Dazu musst Du pruefen, ob beide dieselbe Jordanform haben. Das ist hier einfach. Schon nachdem man die Eigenwerte ausgerechnet hast, ist das klar. (Ich kann auch nix dafuer, dass Deine Vorgehensweise kompletter Bloedsinn ist. Ich hab's Dir nur gesagt.)

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Und eine ganz direkte Lösung ohne jegliches besondere Vorwissen sollte einem auch noch einfallen. Gemaess gegebener Definition sind \(A\) und \(B\) aehnlich, wenn es eine regulaere Matrix \(S\) mit \(AS=SB\) gibt. Setze also \(S={a\,b\choose c\,d}\) an und loese das LGS für die vier Unbekannten. \(S={1\,0\choose 2\,3}\) geht z.B.

Answer 1

Hallo

deine Eigenvektoren sind falsch.

Gruß lul

Comments

So habe ich es ausgerechnet....was ist daran falsch? :(

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Stimmt doch, aber das bringt dich glaub ich net weiter.

PS: bringt dich doch weiter ;)

hier steht wie es geht:

https://www.mathelounge.de/215323/wie-weiss-man-ob-2-matrizen-ahnlich-sind

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Ich glaube leider, dass das nicht reicht. Da die Formel uns extra gegeben wurde. :(

 ( das B hier hatte ich schon ausgeschlossen, da es nicht die gleichen Eigenwerte hatte) ( Das C in der Aufgabe ist mein B hier)

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Ja stimmt, siehe im Link oben wie es weitergeht.

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Ah sorry das hatte ich überlesen. :)