Ähnlichkeit von Matrizen definiert eine Äquivalenzrelation

Question

Aufgabe:

Es sei \( K \) ein Körper.

(a) Zwei Matrizen in \( A, B=K^{n \times n} \) heißen ähnlich, falls es \( P \in \operatorname{GL}(n, K) \) mit \( B=P^{-1} A P \) gibt. Zeigen Sie:
   (i) Ähnlichkeit von Matrizen definiert eine Äquivalenzrelation \( \sim \) auf \( K^{n \times n} \).

   (ii) \( A \sim B \) genau dann, wenn es einen endlichdimensionalen Vektorraum \( V \) über \( K \) mit Basen \( \mathcal{B}, \mathcal{B}^{\prime} \) und eine lineare Abbildung \( T: V \rightarrow V \) derart gibt, dass \( A=M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}(T) \), \( B=M_{\mathcal{B}^{\prime}}^{\mathcal{B}^{\prime}}(T) \)

Problem/Ansatz:

Ich muss für die (i) ja nachweisen, dass die Ähnlichkeit symmetrisch, transitiv und reflexiv ist.

Dafür habe ich jetzt folgendes, komme aber nicht weiter:

Symmetrie: A\( \sim \)B ⇒ B\( \sim \)A,

                 denn: B=P^-1AP       (wie stelle ich das jetzt um, damit da steht: A=P^-1BP ?)

Transitivität: A\( \sim \)B, B\( \sim \)C ⇒ A\( \sim \)C,

                denn: B=P^-1AP und C=P^-1BP ⇒ C=P^-1P^-1APP   (wie bekomme ich die doppelten P's weg?)

Reflexivität: A\( \sim \)A,

                   denn A=P^-1AP, weil ?

Für die (ii) habe ich gar keinen Ansatz, wie man das machen soll...

Answer 1

B=P^-1AP     (wie stelle ich das jetzt um, damit da steht: A=P^-1BP ?)

Überhaupt nicht.

Sei \(A\sim B\).

Sei \(P\in\operatorname{GL}(n,K)\) mit \(B=P^{-1}AP\).

Es gilt

\(\begin{aligned} & & B & =P^{-1}AP & & |\cdot\left(P^{-1}\right)^{-1}\\ & \implies & \left(P^{-1}\right)^{-1}B & =\left(P^{-1}\right)^{-1}P^{-1}AP\\ & \implies & \left(P^{-1}\right)^{-1}B & =AP & & |\cdot P^{-1}\\ & \implies & \left(P^{-1}\right)^{-1}BP^{-1} & =APP^{-1}\\ & \implies & \left(P^{-1}\right)^{-1}BP^{-1} & =A\end{aligned}\)

A=P^-1AP, weil ?

Weil man als \(P\) die Einheitsmatrix verwenden kann.

denn: B=P^-1AP und C=P^-1BP

Sicherlich nicht. Die Matrix, wegen der \(A\sim B\) ist, muss nicht die gleiche sein wegen der \(B\sim C\) ist.

Sei \(A\sim B\) und \(B\sim C\).

Seien \(M,N\in\operatorname{GL}(n,K)\) mit \(B=M^{-1}AM\) und \(C=N^{-1}BN\).

Bestimme eine Matrix \(P\), so dass \(C = P^{-1}AP\) ist.