kleiner gauß mit m statt n

Question

Induktion kleiner Gauß summe k=1 bis n k = n*(n+1)/2

Wie beweist man das mit m statt n? Also in Induktionsvoraussetzung irgendiwe "gilt für 1 m " und dann mit m statt n weitermachen? Wie das gehen?

Answer 1

du musst im Induktionsschritt nicht extra eine neue Variable einführen, auch wenn das einige gerne so machen.

Du kannst sagen. Angenommen die Aussage sei für ein beliebiges, aber festes, n∈ℕ (oder hier m statt n schreiben) wahr, sodass gilt

$$ \sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}{2}\qquad (IV).$$ ODER MIT m geschrieben dann

$$ \sum_{k=1}^m k=\frac{m(m+1)}{2}\qquad (IV).$$

Dann gilt diese Aussage auch für n+1 (bzw. mit m dann m+1), also

$$ \sum_{k=1}^{n+1}k=\frac{(n+1)(n+2)}{2}.$$

ODER MIT m

$$ \sum_{k=1}^{m+1}k=\frac{(m+1)(m+2)}{2}.$$

Dies zeigt man so. (Mache das jetzt mal mit n, weil das mit m exakt genauso geht)

$$ \sum_{k=1}^{n+1}k=\Big(\sum_{k=1}^{n}k\Big)+(n+1)\stackrel{(IV)}{=}\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{2(n+1)}{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}.$$