Bestimmen Sie den Grenzwert der Folgen

Question

Untersuchen Sie die folgenden Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

$$ a _ { n } = \left( \sqrt [ n ] { n } + \frac { 1 } { 7 n ^ { 3 } } \right) ^ { n } \qquad b _ { n } = \frac { \sqrt { 9 n ^ { 2 } + 3 n } - 3 n } { 3 n + 6 } $$

Beweisen Sie die Konvergenz der Folge:

$$ c _ { n } = \frac { 12 n ^ { 2 } - 3 n } { n ^ { 2 } + 1 } $$

mit Hilfe der Definition.

Mir nervt diese Aufgabe viel. Hab schon seit 1 stunde in Internet rescherschiert und kann die nicht machen.

Comments

a)

b_n: Erweitere so, dass im Zähler die 3. binom. Formel entsteht. Kürze dann mit n.

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Dass hier inzwischen über Markierungen miteinander kommuniziert wird, wirkt doch leicht seltsam. Es ist Aufgabe des Fragestellers, die Schreibregeln einzuhalten. Da die Frage aber schon beantwortet wurde, ist es sowieso egal.

Answer 1

zu b) Der Grenzwert ist offenbar 12.

Du musst also zeighen:

Zu jedem ε>0 gibt es ein N so dass für alle n>N gilt  | c_n - 12 | < ε    #

Sei also ε .  Es gilt  | cn - 12 | = | (12n^2 -3n) / ( n^2 +1)  - 12 |

= | (-3n+4) / (n^2+1) |

Da n^2 +1 immer positiv ist also  = | (-3n+4) |  / (n^2+1)

und für n>1 ist -3n+4 negativ also gilt dann  =  (3n-4)/(n^2 +1)

Also muss du herausfinden, wie groß n sein muss, damit  gilt:

            (3n-4)/(n^2 +1)   < ε

      <=>   3n-4  < ε * (n^2 +1 )

      <=>   (3n-4)/ ε <   n^2 + 1

Nun ist aber 3n-4 kleiner als 3n , also ist diese Ungleichung

jedenfalls erfüllt , wenn  3n/ε  <  n^2 + 1

  Und dies ist jedenfalls erfüllt, wenn   3n/ε  <  n^2 .

Division durch das positive n gibt    3/ε  < n

Nun gibt es aber zu jeder pos. reellen Zahl (Archimedes!)

eine natürliche Zahl N, die größer ist.   Wählt man N > 3/ε

so hat man ein in # gefordertes N gefunden.

Answer 2

a) a_n >(n^{1/n})^n=n

die Folge divergiert