Primzahlen p != q mit a + b·√p + c·√q + d·√(p·q) = 0

Question

Ich habe folgende Aufgabe zu bearbeiten:

Zu den Primzahlen p != q seien a,b,c,d ∈ Q mit \( a+b·\sqrt{p}+c·\sqrt{q}+d·\sqrt{p·q} = 0 \). Zeigen Sie \( a = b = c = d = 0 \).

Tipp: Zeigen Sie, dass es in diesem Fall r,s ∈ Q gibt mit \( \sqrt{p} = r+s·\sqrt{q} \).

Kann mir hier bei jemand helfen? Ich habe leider keinen wirklichen Ansatz.

Answer 1

Hätte die Gleichung eine nicht triviale Lösung, müsste es a,b,c,d € Q geben mit

a + b*√p = c*√q + d*√(p*q)

Dabei gilt

a + b*√p != 0, denn √p ist eine irrationale Zahl.

Jetzt werden beide Seiten quadriert

a^{^2} + b^2*p  + 2*a*b*√p = c^2*q + d^2*p*q + 2*c*d*q√p
a^2 + b^2*p  - c^2*q - d^2*p*q = 2*c*d*q√p - 2*a*b*√p

a^2 + b^2*p  - c^2*q - d^2*p*q = (2*c*d*q - 2*a*b ) *√p

Es müsste also gelten

rationale Zahl = rationale Zahl * irrationale Zahl (Widerspruch)

Comments

Sehe ich das richtig ?

!=   soll das Zeichen für "ungleich" sein.

Das hatte mich schon in der Fragestellung verwirrt.