Maximum Likelihood-Schätzer

Question

Dichtefunktion: $$ f_x(x) = \frac{2c^2}{x^3} $$ für x ≥ 0 mit c ≥ 0

Seien nun X₁, ...., X_n unabhängige Stichprobenvariablen der Zufallsvariable X. Bestimmen Sie einen Maximum-Likelihood-Schätzer für c.

Mein derzeitiger Lösungsansatz:

$$ L(\vec{x}, c) = \prod_{i=1}^{n}{f_x(x_i, c)} = \prod_{i=1}^{n}{\frac{2c^2}{x^3}} = (2c^2)^n\prod_{i=1}^{n}{\frac{1}{x^3}} = 2^n*c^{2n} * \prod_{i=1}^{n}{\frac{1}{x^3}} $$

Dann ableiten nach c und Nullsetzen um das Maximum zu finden:

$$ \frac{∂ L(\vec{x}, c)}{∂ c} = 2^n * 2n * c^{2n - 1} * \prod_{i=1}^{n}{\frac{1}{x^3}} = 0$$

Meiner Meinung nach wird die Gleichung nur 0 wenn c = 0 ist. Aber das macht irgendwie keinen Sinn...

Kann mir jemand einen Tipp geben wo mein Fehler liegt?

Comments

Hast du nicht den log vergessen ?

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für x ≥ 0 mit c ≥ 0

sicher? An der Stelle 0 divergiert es weg.

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Ja ich weiß ich hab die Dichtefunktion falsch abgetippt und konnte es jetzt nicht mehr editieren... Richtig lautet sie:



$$ f_c(x) = \begin{cases} \frac{2c^2}{x^3} & \;\text{für}\; x\geq {c}\\ 0 &\;\text{sonst}\end{cases} $$
mit c > 0

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Aber ich bereits die Lösung gefunden :)

$$\hat{c} = \min_{i=1,\ldots,n} x_i$$

Answer 1

Das Integral der Dichtefunktion sollte gleich 1 sein. Egal welches c wir hier wählen ist das für die gegebene Funktion nicht der Fall.

Da die gegebene Funktion nicht die Bedingungen einer Dichtefunktion erfüllt, kann man keine Likelihood Analysis machen.

Comments

Ja ich weiß ich hab die Dichtefunktion falsch abgetippt und konnte es jetzt nicht mehr editieren... Richtig lautet sie:

$$ f_c(x) = \begin{cases} \frac{2c^2}{x^3} & \;\text{für}\; x\geq {c}\\ 0 &\;\text{sonst}\end{cases} $$
mit c > 0

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Aber ich bereits die Lösung gefunden :)

$$\hat{c} = \min_{i=1,\ldots,n} x_i$$