Auflösen von Vektoren im komplexen

Question

Ich brauch eure Hilfe. Ich soll die folgende Gleichung ausrechen

(1,0,i)-⟨(1,0,i),(i,1,1)⟩*1/3(i,1,1)-⟨(1,0,i),(1,i,0)⟩*1/2(1,i,0). Allerdings habe ich jetzt immer Probleme beim Skalarprodukt.

Beispielsweise wie löse ich diese Klammer auf ⟨(1,0,i),(i,1,1)⟩? Muss der erste Vektor komplex konjugiert sein mal den zweiten oder wie mache ich das?

Also ⟨(1,0,i),(i,1,1)⟩=(1,0,i)*(-i,1,1)=(-i,0,i) oder ⟨(1,0,i),(i,1,1)⟩=(1,0,-i)*(i,1,1) oder ist das ganz falsch?

Weil ich weiß dass bei meiner oben angegebenen Gleichung das Ergebnis ((1/2, -i/2, i) herauskommen muss. Wäre echt toll wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

Comments

⟨(1,0,i),(i,1,1)⟩ = 1*i + 0*1 + i*1 = 2i

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Ok, das war natürlich falsch. Richtig muss es heißen:

⟨(1,0,i),(i,1,1)⟩ = 1*(-i) + 0*1 + i*1 = 0

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Wo steht da eine Gleichung?

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Gemeint ist der Vektorterm in der zweiten Zeile.

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Wenn ich richtig gerechnet habe, ergibt das erste Skalarprodukt 0 und das zweite 1, so dass es egal ist, welche Definition des Standardskalarprodukts nun zugrunde gelegt wird, da in beiden Fällen das Gleiche herauskommt. Anschließend vereinfacht sich der Term zu

(1,0,i)-⟨(1,0,i),(i,1,1)⟩*1/3(i,1,1)-⟨(1,0,i),(1,i,0)⟩*1/2(1,i,0)

= (1,0,i)-0-1*1/2(1,i,0)

= (1,0,i)-1/2(1,i,0)

= (1/2, -i/2, i)

Answer 1

wie man das ausrechnete steht hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Standardskalarprodukt#Komplexes_Standardskalarprodukt