Entgegengesetzte Vektoren: Erklären Sie warum u * v = IvI IuI cos α gilt, wobei α der Winkel zwischen den Vektoren ist

Question

Aufgabe:

Es seien u = (u_x, u_y) und v = (v_x, v_y) zwei entgegengesetzten Vektoren. Erklären Sie
warum u_xv_x + u_yv_y = IvI IuI cos α gilt, wobei α der Winkel zwischen den Vektoren ist.

Problem/Ansatz:

cos α müsste doch cos (180°) = -1 sein, oder?

Ich habe außerdem (für die rechte Seite) bereits aufgeschrieben, dass IuI IvI = √(u_x² + u_y²) * √(v_x² + v_y²).

Leider komme ich dann nicht wirklich weiter. Habe versucht, die beiden Wurzeln etwas umzuformen, sodass ich letztendlich bei √(u_x²v_x² + u_x²v_y² + u_y²v_x²+ u_y²v_y²) gelandet bin.

Ich weiß jedoch nicht, ob mir das jetzt überhaupt etwas gebracht hat und/oder wie ich dann weitermachen könnte.

Ich freu mich über jeden Hinweis!

(Tut mir leid, dass das mit den Wurzeln so wirr aufgeschrieben ist; ich weiß gerade nicht, wie ich das beheben kann)

Comments

Was soll denn entgegengesetzt heißen? \(v=-u\), also \(v_x=-u_x\) und \(v_y=-u_y\)? Dann ist das doch trivial.

Gruß Mathhilf

---

Ah, tut mir leid, ich habe vergessen, den Hinweis dazuzuschreiben!

Hinweis: Dadurch, dass die Vektoren entgegengesetzt sind, gilt v = c*u, wobei c < 0.

(Es steht nicht dabei, aber ich denke, dass c eine reelle Zahl ist.)

Answer 1

Dann ist das wohl so gemeint:

Wenn man etwas in der Mathematik erklären soll, muss man auf Voraussetzungen zurückgreifen, die auch ohne Erklärung als wahr gelten. Solche Voraussetzungen nennt die Aufgabe aber nicht. Daher wähle ich diese Voraussetzungen selber, nämlich:

1. Das Skalarprodukt \( \vec{u} \) ·\( \vec{v} \) ist das Produkt aus der Länge von \( \vec{u} \) (=|\( \vec{u} \)|) und der Länge der Projektion p von \( \vec{v} \) auf die Richtung von \( \vec{u} \). Also (*) \( \vec{u} \) ·\( \vec{v} \)=|\( \vec{u} \)|·p

2. Der Winkel α zwischen zwei Vektoren erfüllt die Gleichung (**) \( \vec{u} \) ·\( \vec{v} \)=cos(α)·|\( \vec{u} \)|·|\( \vec{v} \)|.

Da im oben abgebildeten Falle p= - |\( \vec{v} \)| gilt, setze ich dies in (*) ein und erhalte (***) \( \vec{u} \) ·\( \vec{v} \)=- |\( \vec{u} \)|·\( |\vec{v} \)|.

Da cos α = cos (180°) = -1 gilt, erhalte ich nach (**)  \( \vec{u} \) ·\( \vec{v} \)=(-1)·|\( \vec{u} \)|·|\( \vec{v} \)| .